Тема . ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

Метод спуска, индукция и последовательное конструирование в ТЧ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела теория чисел

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#94059

Докажите, что число $(2+ √3)n+ (2 − √3)n$ целое при любом натуральном $n.$

Показать доказательство

Докажем это индукцией по $n.$ Проверим базу индукции при $n= 1:$

√ - √ - (2 + 3)+ (2− 3)=4

Теперь докажем переход, пусть утверждение верно для всех $n ≤ k,$ тогда рассмотрим

√- √ - √- k √- k ((2 + 3)+ (2− 3))((2+ 3) +(2− 3) )=

=(2+ √3)k+1 +(2− √3)k+1+ (2− √3-)(2+ √3)k +(2+ √3)(2− √3)k =

= (2+ √3)k+1+(2− √3)k+1 +(2+ √3)k−1 +(2− √3)k−1

Получается,

(2 +√3)k+1+ (2− √3)k+1 =

√ - √- √- √- √ - √ - =((2+ 3)+(2− 3))((2+ 3)k+ (2− 3)k)− ((2+ 3)k−1+ (2 − 3)k−1)

Из индукционного предположения следует, что $√- k+1 √-k+1 (2+ 3) +(2− 3)$ является целым числом. Значит, переход доказан, утверждение верно.

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse