Метод спуска, индукция и последовательное конструирование в ТЧ
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На доске записано натуральное число. Пете разрешено заменять имеющееся на доске число на сумму квадратов его цифр. Число назовем интересным, если в его десятичной записи нет нулей и из него за конечное число таких операций Петя не сможет получить единицу. Докажите, что существует бесконечно много интересных натуральных чисел.
Подсказка 1
Как можно доказать, что чисел бесконечно? Можно построить бесконечную последовательность из чисел, в которой из последующего числа получается предыдущее. Как можно это сделать?
Подсказка 2
Складывать квадраты произвольных цифр неудобно, а вот складывать единицы удобно. На этом постройте последовательность, приходящую к какому-нибудь интересному числу.
Заметим, что число 
интересное, поскольку при операции из условия получаем цикл:
Теперь построим бесконечное число интересных чисел. Заметим, что, если число 
— интересное, то и число, состоящее из 
единиц, интересное. Начиная такой процесс с числа 
получим бесконечную возрастающую последовательность интересных
чисел.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
