Квадратные трёхчлены на Питергоре
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Можно ли на параболе отметить точки
а на параболе
— точки
так, чтобы выпуклые
четырехугольники
и
оказались равными?
Подсказка 1
Первое, что нужно сказать про эту задачу - это то, что на самом деле эта задача на конструктив, но при этом не как конкретный пример, который чем-то единственным образом задан, а просто приведение какого-то непонятного примера. Подумайте над тем, что будет, если два «вписанных» в параболу четырехугольника равны. А как тогда построить такой четырехугольник?
Подсказка 2
Верно, если они равны, то они совпадают наложением, а значит мы можем так повернуть параболы, что четырехугольник будет «вписан» в обе параболы. А как теперь самим построить пример?
Подсказка 3
Верно, мы можем взять две параболы так, чтобы они пересекались в 4 точках, и тогда четырехугольник, образованный точками пересечения будет нам подходить!
Достаточно расположить эти параболы на плоскости так, чтобы они пересекались в четырёх точках. Эти четыре точки взять в качестве
и одновременно
Одинаковые четырёхугольники являются равными.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Известно, что квадратный трёхчлен
не имеет корней. Докажите, что
Подсказка 1
Если красота не очевидна, то есть смысл попробовать конструкцию просто преобразовать: пораскрывать скобочки или наоборот поискать красивые разложения имеющихся выражений и т.п. Тем более, степень тут всего лишь вторая – не такие уж страшные выражения! Что мы можем извлечь из условия об отсутствии корней у квадратного трёхчлена?
Подсказка 2
Нет корней – значит мы имеем неравенство на дискриминант. А теперь внимательно посмотрим на имеющееся и искомое неравенства: возможно, в них есть что-то общее, что позволяет перейти от искомого неравенства к равносильному?
Подсказка 3
Поработайте с новым неравенством, удаётся ли красиво разложить его, выделяя полные квадраты? Осталось лишь применить неравенство о средних и задача побеждена!
Обозначим через квадратный трёхчлен из условия задачи:
Если одновременно поменять знаки у всех коэффициентов трёхчлена то у него по-прежнему не будет корней, а требуемое
неравенство не изменится. Поэтому можно считать, что
и
при всех
Решение 1.
Поскольку не имеет корней, его дискриминант отрицателен:
После деления на и приведения подобных получим неравенство
Нам требуется доказать, что или, что то же самое,
Заменим в этом неравенстве
на правую часть неравенства (*), тем самым уменьшив левую часть. Останется доказать неравенство
После приведения подобных оно примет вид
и теперь оно очевидно в силу неравенства о средних.
Решение 2.
Положим
Тогда По условию квадратный трёхчлен
не имеет корней. Тогда его
дискриминант
отрицателен, значит,
Перепишем в новых обозначениях неравенство, которое нужно
доказать:
Это равносильно неравенству и в таком виде оно очевидно, поскольку
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Квадратный трёхчлен меняет местами пару различных чисел и
(т.е.
и
). Докажите, что он не меняет местами
никакую другую пару различных чисел.
Подсказка 1
Такс... Давайте запишем квадратный трёхчлен в общем виде и воспользуемся условием, что a и b — различные числа.
Подсказка 2
Пусть f(x) = px² + qx + r и a<b. Что тогда можно получить из условий f(a) = b и f(b) = a ?
Подсказка 3
Верно! Давайте вычтем одно из другого и, т.к. a ≠ b, сократим на (a-b). Получим p(a+b) + q = -1. Можно найти (a+b). Как получить еще одно условие на a и b?
Подсказка 4
Конечно! Давайте просто сложим два этих уравнения. Подставим выраженное (a+b). Что можно заметить?
Подсказка 5
Да! Мы можем выразить (a² + b²). Это значит, что мы знаем сумму любых двух подставляемых чисел и сумму их квадратов. Как показать, что такая пара единственна?
Подсказка 6
Давайте обозначим сумму первых степеней за А, а сумму квадратов за В. Выразим произведение и укажем квадратное уравнение, корнями которого являются подставляемые нами числа! (это и доказывает единственность)
Пусть и
Тогда по условию
и
(*)
Вычтем из первого равенства второе и сократим на получим равенство
Поэтому сумма любых двух
переставляемых местами чисел равна
Далее есть два способа доделать задачу.
Способ 1.
С другой стороны, если сложить равенства (*), то получится соотношение
Следовательно,
Таким образом, сумма квадратов любых двух переставляемых местами чисел равна Но пара чисел
однозначно определена, если заданы их сумма и сумма квадратов. Действительно, если
и
то
и, значит, числа
и
являются корнями квадратного уравнения
Способ 2.
Пусть существует такие и
что
и
Тогда квадратное уравнение
кроме корней
и
имеет
также корни
и
поскольку
(теперь вспоминаем начало решения, что сумма любых двух переставляемых чисел зависит
только от коэффициентов исходного квадратного уравнения). Но так как квадратное уравнение может иметь максимум два различных
корня, противоречие.