Окружность Аполлония

Центры вписанной и вневписанной окружностей и лежат на биссектрисе угла Пусть — точка пересечения этой биссектрисы со стороной Тогда где — радиусы вписанной и вневписанной окружностей. Поэтому для любой точки окружности с диаметром отношение будет одним и тем же. Так как основание высоты, опущенной на лежит на этой окружности,

т.е. и — внутренняя и внешняя биссектрисы угла Следовательно, проведя эти биссектрисы, мы восстановим точку и прямую Поскольку точки лежат на окружности с диаметром Соответственно, построив эту окружность и найдя точки ее пересечения с прямой мы восстановим треугольник.