Окружность Аполлония
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана окружность и прямая 
проходящая через ее центр. Пусть 
— точка вне окружности, не лежащая на 
притом
проекция 
точки 
на 
лежит вне окружности. Из точки 
проведены касательные к окружности 
и 
Прямые 
и 
пересекаются в точке 
Прямая 
пересекает окружность в точках 
и 
Докажите, что
Подсказка 1
Пусть прямая l пересекает окружность в точках X и Y (X лежит на отрезке HC). Что можно сказать про прямую AX?
Подсказка 2
Правильно! Она является биссектрисой угла HAC. Что же тогда можно сказать про окружность, которая проходит через X, Y, A, B?
Подсказка 3
Ага! Она является окружностью Аполлония для точек H и C! Что же тогда можно сказать про прямые PX и QX?
Подсказка 4
Точно! Они являются биссектрисами углов HPC и HQC соответственно. Что же такое точка X теперь для треугольника HPQ?
Пусть 
— центр этой окружности, и прямая 
пересекает окружность в точках 
и 
и точка 
лежит на отрезке 
Из
симметрии углы 
и 
равны, а углы 
и 
равны из того, что прямая 
касается описанной окружности
треугольника 
Поэтому 
— биссектриса угла 
Следовательно, окружность 
является окружностью Аполлония
для точек 
и 
А значит, прямые 
и 
являются биссектрисами углов 
и 
Следовательно, точка 
является точкой пересечения биссектрис треугольника 
А значит, 
— биссектриса угла 
что и требовалось.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
