Окружность Аполлония

Пусть окружность Аполлония определена вершинами и

Обозначим описанную около треугольника окружность за её центр за а радиус за

Как известно, описанная окружность ортогональна окружности Аполлония проходящей через при (касательные к ним в точках пересечения перпендикулярны).

В свою очередь, радиус описанной окружности, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому прямая касается

Степень точки вне окружности равна квадрату касательной от этой точки до данной окружности. Поэтому степень точки относительно равна

Рассмотрим теперь окружность, проходящую через точку (с другим коэффициентом) и сведём к случаю выше.

Пусть эта окружность пересекается с в точке Так как окружность описана около треугольника а рассматриваемая окружность Аполлония определена вершинами и проходит через то можно применить факт про ортогональность окружности Аполлония и описанной окружности треугольника . То есть снова является касательной. Поэтому степень точки относительно новой окружности снова равна