Окружность Аполлония
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Рассмотрим окружность Аполлония, определённую любыми двумя вершинами треугольника 
и произвольным отношением 
Докажите, что центр описанной около 
окружности имеет относительно всех таких окружностей одинаковую степень.
Какую?
Подсказка 1
В условии задачи говорится про окружность Аполлония с произвольным радиусом. В такой формулировке вообще непонятно, как решать задачу. Давайте попробуем для начала упростить задачу. Что будет, если окружность Аполлония для точек A и B будет проходить через C? Возможно, вы вспомните факт из ранее решённых задач.
Подсказка 2
Верно, такая окружность Аполлония ортогональна описанной окружности треугольника ABC. Если вам неизвестен этот факт, его несложно доказать через счёт углов. Значит, касательные в точке пересечения перпендикулярны. Но радиус тоже перпендикулярен касательной. Какой вывод тогда можно сделать про центр O и касательную?
Подсказка 3
Ага, касательная к окружности Аполлония проходит через O. Тогда её степень легко считается — это R². Отлично, получается у всех таких окружностей Аполлония степень O одинакова и равна R². Давайте теперь поймём, почему для окружности с произвольным k ситуация аналогичная. Подумайте, почему это так? В чём особенность точки пересечения описанной окружности ABC и окружности Аполлония для произвольного k?
Подсказка 4
Верно, эта точка просто лежит на описанной окружности ABC, поэтому мы можем повторить все рассуждения из прошлых подсказок. То есть в итоге получаем аналогичную ситуацию, как в третьей подсказке. Победа!
Пусть окружность Аполлония определена вершинами 
и 
Обозначим описанную около треугольника 
окружность за 
её центр за 
а радиус за 
Как известно, описанная окружность ортогональна окружности Аполлония 
проходящей через 
при 
(касательные к ним
в точках пересечения перпендикулярны).
В свою очередь, радиус описанной окружности, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому прямая 
касается 
Степень точки вне окружности равна квадрату касательной от этой точки до данной окружности. Поэтому степень точки 
относительно 
равна 
.png)
Рассмотрим теперь окружность, проходящую через точку 
(с другим коэффициентом) и сведём к случаю выше.
Пусть эта окружность пересекается с 
в точке 
Так как окружность 
описана около треугольника 
а рассматриваемая
окружность Аполлония определена вершинами 
и проходит через 
то можно применить факт про ортогональность окружности
Аполлония и описанной окружности треугольника 
. То есть снова 
является касательной. Поэтому степень точки 
относительно новой окружности снова равна 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
