Окружность Аполлония
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть 
— описанная окружность неравнобедренного треугольника 
— ее центр. Пусть 
— окружность Аполлония, определённая
точками 
и 
и проходящая через вершину 
Аналогично определим окружности 
и 
Докажите, что 
и 
проходят через две некоторые точки 
и 
Более того, точка 
лежит на луче 
и 
где 
— радиус
Подсказка 1
Давайте для начала переформулируем задачу на удобный нам язык. Нас просят доказать, что какие-то три окружности проходят через пару точек. Но что это значит на самом деле? Как в принципе называется прямая проходящая через общую пару точек окружностей?
Подсказка 2
Верно, эта прямая называется радикальной осью. И значит, в задаче просят доказать, что радикальная ось у всех трёх пар окружностей совпадает. Давайте рассмотрим пересечение двух из них в точках X и Y. Докажем, что X принадлежит третьей окружности(для Y всё будет аналогично). Какие тогда соотношения можно записать из знаний, что X принадлежит двум окружностям Аполлония и проходит через фиксированные точки?
Подсказка 3
Ага, можем записать два соотношения для точек X, C и для точек X, A. И перемножим их. Тогда мы получим как раз условие того, что X лежит и на третьей окружности. Отлично, аналогичными действиями мы поймём, что XY общая радикальная ось трёх окружностей. А что же по поводу второго вопроса? Почему O лежит на XY(отсюда немедленно будет следовать вопрос задачи)? Вспомните определение радикальной оси и ортогональность окружностей: описанной и Аполлония.
Подсказка 4
Верно, степень точки O одинакова относительна всех трёх окружностей, а значит, O тоже лежит на XY, то есть на радикальной оси. Осталось только записать степень точки O двумя способами, и победа!
Как известно, 
ортогональна 
(несложно доказать, что касательные в точках пересечения этих окружностей перпендикулярны).
Аналогично, 
ортогональна 
и 
Центром единственной окружности (радикальной окружности), которая пересекает три данных
окружности ортогонально, является их радикальный центр. Поэтому он лежит на радикальной оси любой пары окружностей. Докажем, что
для окружностей Аполлония все три радикальные оси они совпадают:
Рассмотрим радикальную ось 
и 
пусть они пересекаются в точках 
и 
(в одной точке пересекаться не
могут в невырожденном случае в силу сказанного выше). Тогда из принадлежности точки 
к окружности Аполлония
следует
Тогда получаем, что
Так что точка 
принадлежит ещё и окружности 
Аналогично можно поменять везде 
на 
и доказать, что три окружности Аполлония проходят через точки 
.png)
Равенство 
следует из записи степени точки 
относительно любой пары окружностей Аполлония и факта про
ортогональность окружности Аполлония и описанной окружности.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
