Окружность Аполлония
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Углы 
и 
совмещаются поворотом так, что луч 
совмещается с лучом 
а луч 
— с 
В них вписаны
окружности, пересекающиеся в точках 
и 
Докажите, что углы 
и 
равны.
Подсказка 1
У нас на картинке есть две вписанные окружности. Было бы полезно отметить их центры O₁ и O₂. Верно ли, что теперь можно доказывать равенство уголков ∠O₁OF и ∠O₂OE?
Подсказка 2
Верно! Ведь ∠AOF и ∠DOE равны. Но тогда интересно будет посмотреть на биссектрису угла ∠O₁OO₂: обозначим за OK- биссектрису в треугольнике △O₁OO₂. Тогда ∠O₁OF=∠O₂OE ⇔ ∠FOK=∠FOE. А что можно сказать про отрезки EK и FK?
Подсказка 3
Они равны, ведь O₁O₂- серпер к EF. Если бы точки O, E, K и F лежали на одной окружности, то все было бы замечательно. Какую мы знаем окружность, которая проходит через O и K...
Подсказка 4
Окружность Аполлония для точек O₁ и O₂. Осталось только доказать, что EO₁ /EO₂=FO₁ /FO₂=OO₁ /OO₂. Первое равенство очевидно, ведь EO₁=FO₁=R₁ и EO₂=FO₂=R₂. Как доказать, что OO₁/OO₂=R₁/R₂?
Подсказка 5
Нужно всего лишь посмотреть на синусы углов ∠AOO₁ и ∠COO₂!
Первое решение.
Пусть 
— центры окружностей, 
— их радиусы. Проведём биссектрису угла 
(она же — биссектриса угла 
Пусть она пересекает отрезок 
в точке 
Поскольку
то точки 
принадлежат одной и той же окружности Аполлония точек 
и 
Поскольку 
— серединный
перпендикуляр к 
то равны хорды этой окружности 
и 
Значит, равны и опирающиеся на них вписанные углы 
и
откуда немедленно следует равенство углов 
и 
Второе решение.
Сделаем инверсию с центром в точке 
такую, что первая окружность переходит в равную второй. Вторая, соответственно, перейдёт в
равную первой. Тогда, с одной стороны, лучи 
и 
перейдут в себя, с другой — мы имеем картинку, симметричную исходной
относительно биссектрисы угла 
а значит, она же биссектриса угла 
откуда 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
