Тема САММАТ (Самарская математическая олимпиада)

Тригонометрия на САММАТе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела саммат (самарская математическая олимпиада)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#88704Максимум баллов за задание: 7

Найдите точки плоскости, обе координаты которых являются натуральными числами, меньшими двадцати, и через которые проходит график функции

2 (πx) y =4sin 12 .

Укажите все возможные варианты и объясните, почему нет других вариантов.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как можно преобразовать функцию? Какие значения она принимает?

Подсказка 2

Применим формулу косинуса двойного угла. Попробуем разобрать, какие значения принимает косинус и при каких аргументах

Подсказка 3

Что если х=12? А если он взаимнопрост с 6?

Подсказка 4

При х, взаимнопростых с 6, значение y иррационально. Осталось лишь проверить остальные значения x!

Показать ответ и решение

Применим формулу косинуса двойного угла

2 πx πx y =4sin(12)= 2− 2cos(6 )

Заметим, что $y > 0$ при $πx cos(6-)⁄= 0$ , то есть $x ⁄=12k$ . Так как $x$ — натуральное число меньше $20$ , то это условие означает, что $x ⁄=12$ .

Далее заметим, что при взаимнопростых с шестью $x$ (то есть $x≡ 1,5 (mod 6)$ ) число $πx cos(-6 )$ - иррациональное число (для $x =1,5,7,11,13,17,19$ ) , так как в таком случае

√- cos(πx)=cos(± π+ πk)= ±-3- 6 6 2

При остальных значениях $x$ число $y$ будет натуральным, что можно проверить подстановкой.

Итого получаем пары:

(2;1),(3;2),(4;3),(6;4),(8;3),(9;2),(10;1),(14;1),(15;2),(16;3),(18;4).

Ответ:

$(2;1),(3;2),(4;3),(6;4),(8;3),(9;2),(10;1),(14;1),(15;2),(16;3),(18;4)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#88705Максимум баллов за задание: 7

Найти решения неравенства

-1-- --1- ∘ ---------2- sinx − cosx > 1+(tgx− 1),

принадлежащие интервалу $( π) 0;2 .$

Источники: САММАТ - 2024, 11.3 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Косинусы, синусы, тангенс и еще корень, не очень приятно со всем этим работать. Давайте тангенс заменим на sin(x)/cos(x) и избавимся от корня, не забыв про ограничения.

Подсказка 2

Если не раскрывать (cos(x) - sin(x))^2, то после преобразований это выражение можно вынести за скобки и тогда в правой части неравенства останется 1. А на что похож другой множитель, получившийся после того, как вынесли (cos(x) - sin(x))^2?

Подсказка 3

Вспоминаем ОТТ и получаем, что это ctg(x)^2 , который позволит нам избавится от cos(x)^2. Осталось дело за малым, решить обычное тригонометрическое неравенство, не забывая про ограничения

Показать ответ и решение

Запишем неравенство в виде:

∘ -------------2 cosx−-sinx > 1+ (cosx−2sinx)- sin xcosx cosx

Возведём в квадрат, учитывая ограничение $cosx >sin x$ :

(cosx-− sinx)2> 1+ (cosx-− sinx)2 sin2x cos2x cos2x

Преобразуем:

(cosx− sinx)2--1- cos2x (sin2x − 1)> 1

По ОТТ вторая скобка левой части равна $2 ctg x$ , который сократит $2 cosx$ и в знаменателе окажется $2 sin x$ :

(cosx− sinx)2 ---sin2x----> 1

Домножим на знаменатель и извлечём квадратный корень, перенесём все в одну часть и напишем разность квадратов:

cosx(cosx − 2sin x) >0

В силу ограничений косинус положителен, а значит, нужно решить неравенство $cosx> 2sinx$ . Равенство достигается в $x= arctg 12$ . С помощью тригонометрической окружности определяем, что нам подходят $x∈ (0;arctg 12)$ . Нетрудно проверить, что этот отрезок подходит под ограничения.

Ответ:

$(0;arctg 1) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#77698Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение:

x x 2⋅cos(2⋅2021 )− 3⋅cos(2021 )+1 =0

Источники: САММАТ - 2021, 11.6 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сделаем замену t = 2021^x. Как можно преобразовать получившееся равенство? Какие известные формулы применить?

Подсказка 2

Формулу понижения степени! Справа ноль, тогда хочется попробовать как-то разложить левую часть на множители...

Подсказка 3

(cos(t) - 1)(4cos(t) + 1) = 0. Разберем случаи! Тогда решать уже будет не так сложно :) Не забываем про ОДЗ!

Показать ответ и решение

Сделаем замену: $t= 2021x,t>0.$ Тогда

2 2cos(2t)− 3cos(t)+1= 0⇔ 4cos (t)− 3cos(t)− 1 =0,

(cos(t)− 1)(4cos(t)+ 1)= 0.

1) $cos(t)= 1⇒ t= 2πn,n∈ℤ,n ≥1,$ чтобы $t> 0⇒ x =log2021(2πn),n ∈ℕ.$

2) $[ t=arccos(−0,25) cos(t)= −0,25 ⇒ t=± arccos(−0,25)+2πn,n∈ ℤ n≥ 1, чтобы t>0.$

$[ x= log (arccos(− 0.25)) x= log2021(± arccos(−0.25)+ 2πn),n∈ ℕ. 2021$

Ответ:

$log (arccos(−0.25)),log (2πn),log (±arccos(−0.25)+ 2πn),n∈ ℕ 2021 2021 2021$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#94203Максимум баллов за задание: 7

Решите систему уравнений

{ |sinx|+1 =tgy |siny|+1 =tgx

Источники: САММАТ - 2021, 11.9 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Удобно ли нам рассматривать все пары (x,y), где оба числа действительные? Или же можно как-то ограничить это множество аргументов? Конечно, можно, ведь tg и sin — периодические функции. На каком тогда промежутке было бы удобно рассматривать наши функции и что тогда будет давать некоторая пара (x₀, y₀), которая является решением на нём?

Подсказка 2

Понятно, что удобно было бы рассматривать это на промежутке [-π/2, π/2], так как это и есть период tg и sin. При этом, решение на таком промежутке дает множество решений вида (x₀+πn, y₀+πm). Что делать дальше? Может быть, ещё ограничить множество, на котором мы рассматриваем, с учётом того, как выглядит система? У нас ведь слева выражение ≥ 1.

Подсказка 3

Так как слева у нас выражение ≥ 1, то tg(x) ≥ 1, а значит мы можем рассматривать выражение на [π/4, π/2]. Что на этом промежутке можно сказать про функции sin(x) и tg(x)? А что нам это может дать? Как мы преобразуем систему, чтобы использовать это знание о функциях на новом промежутке?

Подсказка 4

Эти функции — строго возрастающие на данном промежутке, а значит, если мы сложим оба равенства, то получим, что f(x) = f(y), где f(x) = sin(x)+tg(x), при этом в силу строгого возрастания, x = y (в рамках этого промежутка). Значит, наша система свелась к тому, чтобы найти решение уравнения sin(x)+1 = tg(x) ⇔ sin(x)*cos(x) = sin(x)-cos(x). Заметим, что выражения sin(x)-cos(x) и sin(x)*cos(x) связаны очень хорошими преобразованиями из одного в другое и выражаются друг через друга крайне понятно. Выразите и решите!

Подсказка 5

Если sin(x)-cos(x) = t, то t² = 1-2sin(x)*cos(x) = 1-2t. Остается найти t, приравнять это значение к sinx - cosx, а потом найти x, а значит и y. Но вот вопрос - какое тогда множество решений у нас будет?

Показать ответ и решение

Функции $|sinx|$ и $tgx$ - периодические функции периода $π$ . Поэтому $x =x ,y = y 0 0$ является решением системы лишь тогда, когда $x =x0+ nπ,y = y0+$ $m π$ будет решением системы при всех $n,m ∈ℤ$ . Следовательно, систему уравнений достаточно решить при условии, что $x,y ∈ (− π∕2;π∕2)$ .

Пусть $x,y ∈ (−π∕2;π∕2)$ . Так как $tgx≥ 1,tgy ≥1$ , то $x,y ∈ [π∕4;π∕2)$ . В этом случае система записывается как

{ sinx+ 1= tgy, siny+ 1=tgx.

На промежутке $[π∕4;π∕2)$ функции $sinx$ и $tgx$ строго возрастающие. Из равенства

sinx+ tg x= siny+ tgy

следует, что $y = x$ . Поэтому решение системы (1) сводится к решению уравнения

sinx +1 =tgx

на промежутке $[π∕4;π∕2)$ . Уравнение представляется как

sinx cosx= sinx − cosx.

Положим $z = sinx − cosx$ . Тогда

1 − z2 = 2z

и, значит, $√ - z =− 1+ 2$ . Решив уравнение

√- sinx− cosx =− 1+ 2,

находим, что $π 2−-√2 x= 4 +arcsin 2$ . Поэтому решениями заданной системы будут $x=$ $π 2−√2 π 2−√2- 4 + arcsin 2 + nπ,y = 4 + arcsin 2 + mπ$ , где $n,m ∈ℤ$ .

Ответ:

$(π +arcsin 2−√2+ nπ;π+ arcsin2−√2 +m π), n,m ∈ ℤ 4 2 4 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#101250Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

( x+-2020-) arctg 1− 2020x − arctgx= arctg2020.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте преобразовать выражение и избавиться от arctg в одной из частей. Что для этого нужно сделать с обеими частями?

Подсказка 2

Перенесите arctg(x) вправо и воспользуйтесь тем, что tg(arctg(x)) = x.

Подсказка 3

После того, как мы возьмем тангенс от обеих частей и преобразуем их, мы придем к интересному выводу об x ;) Однако не забудьте о том, что изначально правая часть была равна арктангенсу некоторого числа!

Показать ответ и решение

Запишем уравнение в виде

( x+ 2020 ) arctg 1-− 2020x = arctgx+ arctg(2020)

Учитывая, что $tg(arctg(x))≡ x,$ имеем

( ( )) tg arctg x+-2020- =tg(arctgx +arctg(2020)), 1− 2020x -x+-2020 = -tg(arctg(x))+tg(arctg(2020))-= x+-2020- 1− 2020x 1− tg(arctg(x))⋅tg(arctg(2020)) 1− 2020x

Из этого следует, что равенство выполняется при тех значениях $x,$ при которых

− π < arctg x+arctg(2020)< π 2 2

Учтём, что $arctg(2020)> 0$ и $− π< arctgx< π, 2 2$ получим

π arctgx+ arctg(2020) < 2

( ) arctgx< arctg -1-- 2020

Так как $arctgx$ является возрастающей функцией, то это равносильно

x< --1- 2020

Ответ:

$(−∞; -1-) 2020$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#92476Максимум баллов за задание: 7

Найдите сумму всех целых $n∘ ∈ [−1945∘;2020∘],$ для которых выполняется неравенство

∘ 1 ∘ tgn < 2 < tg(n +1).

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хотелось бы найти подходящее n из промежутка (0°,45°). Как это сделать? На самом деле, некоторым подбором… Сначала можно определить n с точностью в +-5 градусов, взять середину отрезка и так далее. Для каждого рассматривамого n пытаемся тангенс сравнить с 1/2.

Подсказка 2

В процессе, конечно же, хочется от тангенса переходить с синусу или косинусу, потому что они устроены более понятным для нас образом, для них неравенства легче применять. Для этого можно возводить наши неравенства в квадрат и квадрат косинуса выражать через квадрат синуса, например. Также полезно будет использовать формулы косинуса двойного угла.

Подсказка 3

Когда мы наконец справились и подобрали такое n, осталось найти сумму всех n+180k из указанного в условии задачи диапазона. Здесь можно воспользоваться тем, что эти числа образуют арифметическую прогрессию!

Показать ответ и решение

Для начала докажем, что $tg26∘ < 1. 2$ Это эквивалентно неравенству

∘ ∘ 2sin26 < cos26

Возведем неравенство в квадрат:

4sin226∘ < cos226∘

Из основного тригонометрического тождества имеем: $cos226∘ =1− sin226∘.$ Тогда после подстановки в неравенство получаем:

sin226∘ < 1 5

По формуле косинуса двойного угла получаем $cos52∘ = 1− 2sin226∘.$ Выразим из этого равенства квадрат синуса и подставим в неравенство:

∘ 3 cos52 > 5

Снова возведем в квадрат:

2 ∘ 9- cos 52 > 25

Снова по формуле косинуса двойного угла получаем $∘ 2 ∘ cos104 = 2cos 52 − 1.$ После подстановки в неравенство получаем

7 cos104∘ > −25

По формуле приведения имеем $cos104∘ =cos(90∘+ 14∘)= − sin 14∘.$ Тогда наше неравенство эквивалентно

sin14∘ <-7 25

Это верно, поскольку

sin14∘ <sin 15∘ = sin π 12

Теперь применим оценку $sinx <x$ для углов из промежутка $(0;π). 2$ Тогда имеем

sin π-< π-< 7- 12 12 25

Таким образом, действительно, $tg 26∘ < 1. 2$ Теперь докажем, что $tg27∘ > 12.$ Начало доказательства аналогично предыдущему случаю

4sin227∘ > cos227∘

sin227∘ > 1 5

cos254∘ < 3 5

Теперь по формуле приведения $cos54∘ = cos(90∘ − 36∘)=sin36∘.$ Подставляем полученное в наше неравенство и возводим в квадрат

sin236∘ <-9 25

Использовав формулу косинуса двойного угла, получаем $cos72∘ = 1− 2sin236∘.$ Подставляем в неравенство и получаем:

cos72∘ >-7 25

По формуле приведения $cos72∘ = sin18∘,$ поэтому остается доказать, что $sin18∘ > 7-. 25$ Найдем $sin 18∘.$ Для этого используем равенство $cos54∘ =sin 36∘,$ которое следует из формулы приведения. По формуле косинуса тройного угла получаем $cos54∘ = 4cos318∘ − 3cos18∘.$ По формуле синуса двойного угла $sin36∘ = 2sin18∘cos18∘.$ Таким образом, получаем равенство

3 ∘ ∘ ∘ ∘ 4cos 18 − 3cos18 =2 sin18cos18

Разделим обе части на $cos18∘.$ Пусть $sin18∘ =x.$ Тогда $cos218∘ =1 − x2.$ Получаем следующее уравнение

4(1− x2)− 3 =2x

4x2+ 2x− 1= 0

Оно имеет корни $−2± √20 −1± √5 x= ---8----= --4---.$ Так как $sin18∘ > 0,$ то имеем

√- sin 18∘ =x = -5−-1> 1,2-> 7- 4 4 25

Таким образом, неравенство $tgn∘ < 12 < tg(n+ 1)∘$ выполняется при $n= 26+ 180k.$ Найдем решения неравенства

−1945≤ 26 +180k≤ 2020

−1971≤180k≤ 1994

Так как $n$ — целое число, имеем $− 10≤ k≤ 11.$ Тогда сумма всех целых $n$ равна

−1774+-2006- 2 ⋅22 =2552

Ответ:

2552

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#70303Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

∘ ∘ sinx =2sin 20 sin (170 − x)

Источники: САММАТ-2017, 11.1 (см. sammat.samgtu.ru)

Показать ответ и решение

Воспользуемся формулой приведения и формулой синуса суммы:

∘ ∘ ∘ ∘ sin(170 − x)= sin(x +10 )= sinxcos10 + cosxsin10

Исходное равенство примет вид:

∘ ∘ ∘ sinx= 2sin 20 (sinxcos10 +cosxsin10)

sinx= 2sin20∘sinxcos10∘ +2sin20∘cosxsin10∘

sinx(1− 2sin20∘cos10∘)= 2sin20∘cosxsin 10∘

Воспользуемся формулами суммы и разности синусов:

1− 2sin20∘cos10∘ = 1− sin30∘− sin10∘ =1 − 1 − sin 10∘ = 2

= sin30∘− sin10∘ = 2sin10∘cos20∘

Равенство примет вид:

2sin10∘cos20∘sinx = 2sin20∘cosxsin10∘

cos20∘sinx− sin20∘cosx =0

∘ sin(x − 20 )= 0

x= 20∘+ 180∘n

Ответ:

${π+ πn,n ∈ℤ} 9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#98815Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

----sin-36∘---- tgx= 2sin 42∘− cos36∘.

В ответе укажите наименьший положительный угол в градусах.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем, как мы вообще могли бы получить такой угол. Скорее всего, мы что-то подставили вместо икса, и это что-то имеет вид 42t + 36v, потому что задача вряд ли использует что-то сложнее. Осталось понять, чему равно t и v (если мы верим, что после подстановки всё сократится).

Подсказка 2

Вряд ли это будет пара, такая, что |t| = |v| = 1, поскольку это было бы слишком очевидно и сразу бы решалось (хотя проверить стоит). Если же у нас t, v по модулю хотя бы 2, то там вылезают как минимум четвёртые степени и нас вряд ли так не любят организаторы. Поэтому все напрашивается на мысль, что скорее всего v и t — это 2 и 1 в некотором порядке записанные.

Подсказка 3

Осталось подстановкой проверить возможные варианты и найти подходящий!

Показать ответ и решение

Преобразуем знаменатель:

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ 2sin42 − cos36 = sin42 +sin42− cos36

Так как для любого $x$ верно, что $sinx =cos(90∘− x),$ то $sin42∘ = cos48∘.$ Тогда:

sin42∘+ sin42∘− cos36∘ =sin42∘ +cos48∘− cos36∘

Воспользуемся формулой разности косинусов $cosa− cosb= −2sina+-bsina-− b 2 2$ :

sin42∘+ cos48∘− cos36∘ = sin42∘− 2sin48∘+36∘sin 48∘-− 36∘= sin42∘− 2sin42∘sin6∘ = sin42∘(1 − 2sin 6∘) 2 2

Снова заменим $sin42∘$ на $cos48∘ :$

sin 42∘(1− 2sin6∘)=cos48∘(1− 2sin6∘)

Итак, знаменатель дроби равен:

2sin42∘− cos36∘ = cos48∘(1− 2sin6∘)

Теперь преобразуем числитель $sin 36∘.$ Заменим $sin 36∘$ на $cos(90∘− 36∘)= cos54∘,$ а затем прибавим $sin48∘− cos42∘ =0.$ Мы прибавляем 0, значит, значение выражения от этого не изменится.