Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Уравнения, неравенства и системы на Питергоре

Тема ПитерГор (Санкт-Петербургская олимпиада)

Уравнения, неравенства и системы на Питергоре

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела питергор (санкт-петербургская олимпиада)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#71902

Положительные иррациональные числа $α$ и $β$ таковы, что при всех $x >0$ выполнено равенство $[α[βx]]= [β[αx]].$ Докажите, что $α =β.$

Источники: СпбОШ - 2018, задача 11.6(см. www.pdmi.ras.ru)

Показать доказательство

Введём обозначение: будем считать, что нам даны два таких иррациональных параметра $α$ и $β,$ что при всех $x >0$ выполнено равенство $1 1 -11 [α[βx]]= [β [αx]].$ По-прежнему требуется доказать, что $α =β.$
Обозначим через $⌈x⌉$ верхнюю целую часть числа $x,$ т.е. наименьшее целое число, которое больше либо равно $x.$ Положим $1 1 fα,β(x)= [α[βx]]$ и найдём, при каких натуральных $n$ выполняется неравенство $fα,β(x) ≥n.$ Имеем

[1[ 1 ]] 1 [1 ] fα,β(x)≥n ⇔ α- βx ≥n ⇔ α- βx ≥ n⇔

[ ] [ ] ⇔ 1x ≥ αn ⇔ 1x ≥ ⌈αn⌉⇔ 1x ≥⌈αn⌉⇔ x ≥β⌈αn⌉. β β β

Аналогично неравенство $fβ,α(x)≥ n$ равносильно неравенству $x ≥α ⌈βn⌉.$ Поскольку $fβ,α(x)= fα,β(x),$ мы приходим к выводу, что при всех натуральных $n$ выполняется равенство $β⌈αn⌉=α⌈βn⌉,$ или

α-= ⌈αn⌉- β ⌈βn⌉

Теперь понятно, что это равенство верно только при $α= β.$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#71269

Числа $x,y,z,t∈ (0,π∕2]$ удовлетворяют условию

2 2 2 2 cos x+ cos y+ cos z+ cos t= 1.

Какое наименьшее значение может принимать величина

ctgx+ ctgy +ctgz+ ctgt?

Источники: СпбОШ - 2017, задача 11.3(см. www.pdmi.ras.ru)

Показать ответ и решение

Заметим, что

cosx 2cos2x 2cos2x 2 ctgx = sinx-=2-sinxcosx = -sin2x-≥ 2cos x.

Следовательно,

( ) ctgx +ctgy+ ctgz+ ctgt≥ 2 cos2x+ cos2y+ cos2z+ cos2t = 2.

Стало быть, интересующая нас сумма всегда не меньше $2.$ С другой стороны, если $π x= y = 4$ и $π z =t= -2,$ то

1 cos2x+ cos2y+ cos2z+ cos2t= 2⋅2 +2⋅0 =1 ctgx+ ctgy+ ctg z+ctgt= 2⋅1+2⋅0 =2.

Ответ:

Наименьшее значение равно $2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#70347

Числа $x$ и $y$ удовлетворяют условиям $x2+ y2 = 1$ и $20x3− 15x =3.$ Найдите $|20y3− 15y|.$

Источники: СпбОШ - 2015, задача 11.3(см. www.pdmi.ras.ru)

Показать ответ и решение

Первое решение.

Подберём $α$ таким образом, чтобы выполнялось равенства $x= sin(α),y = cos(α).$ Тогда $3 3 sin(3α)= 3sin(α)− 4sin (α)=3x− 4x = −3∕5.$ Следовательно,

3 3 |20y − 15y|= |20cos(α)− 15cos(α)|=

∘-----2--- = |5cos(3α)|= 5 1 − sin (3α) =4

Второе решение.

Найдём значение выражения $|4y3− 3y|.$ Для этого достаточно найти значение его квадрата, а потом извлечь корень. Но квадрат этого выражения равен

3 2 2 2 2 4 2 |4y − 3y|= y (4y− 3) =y (16y − 24y + 9).

Подставим $1− x2$ вместо $y2,$ преобразуем и получим выражение

6 4 2 2 2 (3)2 16 − 16x + 24x − 9x + 1= 1− x(4x− 3) = 1− 5 = 25-

Следовательно, $()2 |4y3− 3y|2 = 45 ,$ откуда и находим ответ.

Ответ:

$4$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущий раздел

Следующий раздел