Логические и комбинаторные рассуждения на Курчатове
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Имеется 288 внешне одинаковых монет весами 7 и 8 грамм (есть и те, и другие). На чаши весов положили по 144 монеты так, что весы в равновесии. За одну операцию можно взять с чаш любые две группы из одинакового числа монет и поменять их местами. Докажите, что можно не более, чем за 11 операций сделать так, чтобы весы не были в равновесии.
Подсказка 1
Что-то подсказывает, что начинать менять большими группами — так себе идея, ведь мы ничего не будем знать про то, как группы устроены внутри. Поэтому начинать нужно с маленьких групп, у которых вариантов наборов немного. Разумеется, будем решать задачу от противного. Далее поймёте, что это накладывает очень много нужных нам ограничений. Итак, с каких групп стоит начать?
Подсказка 2
Верно! С самых маленьких. Поменяем местами две монеты (с каждой чаши по одной). Из предположения, они одинаковы. Это уже какая-то определённость. Может сделаем так ещё раз?
Подсказка 3
Действительно, аналогично мы можем найти ещё одну, одинаковую с этими двумя, монету. То есть на одной из чащ уже 2 одинаковых. Менять по одной — никаких 11 операций точно не хватит, нужно увеличивать шаг. Кажется, мы можем сделать подобное с 4 монетами (по 2 с каждой чаши)…
Подсказка 4
Точно! Таким же образом получите, что теперь у вас на одной из чаш уже 3 одинаковые монеты. Потом 5 и т.д. Интересно, на какую известную последовательность намекают эти числа?
Подсказка 5
Это же последовательность Фибоначчи! Невзначай скажем, что F₁₂ = 144, а дальше мы замолкаем. Успехов!
Будем менять группы монет с разных чаш. Пусть у нас при каждой из следующих замен равновесие сохраняется. Поменяем по одной
монете. Они одинаковы. Поменяем одну из этих монет с новой. Теперь три монеты одинаковы: пара на одной и одна — на другой чаше.
Поменяем эту пару с парой еще нетронутых. Теперь на одной чаше пара одинаковых, на другой — тройка таких же монет. Поменяем тройку
с тройкой нетронутых. Теперь на одной чаше тройка одинаковых монет, на другой — пять таких же монет. Продолжая в том же духе, после
k-го шага получим на одной чаше 
одинаковых монет, а на другой — 
таких же монет, где 
— i-ое число Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5,
8, 13, 21, 34, 55, 89, 144. Итак, после 11-го шага на одной из чаш все монеты одинаковы. Но тогда они таковы же и на другой, что по условию
невозможно.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
