Оценки для доказательства делимости
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все простые 
для которых числа 
и 
являются удвоенными квадратами натуральных чисел.
Источники:
Подсказка 1
Пусть p+1 = 2x², p²+1 = 2y². Вот давайте вычтем эти два выражения: будет p(p-1) = 2(y-x)(y+x). Про что можно тут подумать, раз слева стоит простой множитель?
Подсказка 2
Про делимости! У нас делится на p либо 2, либо y-x, либо y+x. Если проверить p = 2, то он не подойдет. А может ли y-x делится на p?
Подсказка 3
Можно заметить, что т.к. p+1 = 2x², то x<p, а также y<p и x<y. Тогда y-x тем более < p и он на него не делится. Остается, что y+x делится на p. Используя наши оценки на x и y, поймите, чему равно y+x и решите полученную системку!
Пусть
тогда
Поэтому одно из чисел 2, 
и 
кратно 
Если 2 кратно 
то 
что невозможно, поскольку 
не является
удвоенным квадратом.
Первый способ.
Из неравенства 
следует, что
Таким образом, имеем систему из двух уравнений
Решаем её
Значит,
Следовательно, 
Второй способ.
Если 
делится на 
то
Значит, это невозможно. Следовательно, 
делится на 
Заметим, что
Тогда если 
то
Значит,
Стало быть,
Но этого не может быть. Таким образом, осталось рассмотреть случаи 
и 
В первых двух из них 
не является
удвоенным квадратом, а 
подходит.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
