Комбинаторика + комбигео на Энергетике
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Госпожа Такаято решила сесть на диету и из каждых десяти дней делать четыре голодных и шесть обжорных. Сколькими разными способами она может распределить такие дни, чтобы у неё не было более двух голодных дней подряд (в рамках одной десятидневки)?
Источники:
Подсказка 1
А что если не было бы условия на два дня голодовки? Сколько способов было бы?
Подсказка 2
Нам нужно выбрать всего 4 дня из 10, а остальные будут обжорными. А как посчитать количество способов, которые не подходят под условие?
Подсказка 3
Нам нужно вычесть способы, в которых есть хотя бы 3 дня подряд голодовки. Много ли таких случаев?
Подсказка 4
Разберите случаи: когда у нас есть 3 дня подряд голодовки и 1, не стоящий рядом с ними. И второй случай: все 4 дня голодовки стоят рядом
Посчитаем сначала общее количество способов распределить дни без учёта условия. Заметим, что нам нужно выбрать 4 голодных дня, остальные сразу станут обжорными. Значит, их количество
Теперь посчитаем способы, которые нам не подходят под условия, чтобы вычесть их. Понятно, чтобы не выполнялось условие задачи нужно иметь хотя бы 3 голодных дня подряд, но, т.к. голодных дней всего 4 возможно два варианта:
1) У нас 3 голодных дня подряд и 1 голодный, не стоящий с ними рядом. Будем воспринимать эти 3 дня как 1, назовём его большой голодный день, т.е. теперь у нас будет 8 дней и мы распределяем большой голодный день и голодный день так, чтобы они не стояли рядом. Если большой голодный стоит первым или последним, то у обычного есть 6 вариантов, в иных случаях у него их 5. В итоге
2) У нас 4 голодных дня подряд. Количество таких способов равно количеству способов выбрать место для первого голодного дня, оно равно 7.
В итоге количество способов распределения, подходящих под условия равно
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Каждый из шести домов, стоящих на одной стороне улицы, соединен кабельными воздушными линиями с каждым из восьми домов на противоположной стороне. Сколько попарных пересечений образуют тени этих кабелей на поверхности улицы, если никакие три из них не пересекаются в одной точке? Считайте, что свет, порождающий эти тени, падает вертикально вниз.
Источники:
Подсказка 1
Нас просят найти количество попарных пересечений! Для начала давайте разберемся, а когда образуется одно попарное пересечение?
Подсказка 2
Да, пересечение образуется, когда мы выбираем два дома на одной стороне(различных), два дома на другой стороне(тоже различных) и делаем биекцию между ними(то есть, соединяем один дом ровно с одним другим). Остаётся посчитать количество таких четверок домов!
Подсказка 3
Первые два дома нужно выбрать из 6, а вторые два из 8. То есть, это просто число сочетаний из 6 по 2 и число сочетаний из 8 по 2!
Возьмем произвольную пару домов на одной стороне улицы и произвольную пару на другой. Они являются вершинами выпуклого
четырехугольника (поскольку две стороны четырехугольника, идущие от каждой выбранной пары, лежат по одну сторону прямой, т.е. углы
не превосходят 
), следовательно, его диагонали пересекаются.
Каждое попарное пресечение теней (кабелей) является точкой пересечения диагоналей такого четырехугольника. Таким образом, осталось найти их количество, которое равно произведению способов выбрать пару домов на каждой стороне улицы.
