Тема НадЭн (Надежда энергетики)

Логика, комбинаторика и комбигео на Энергетике

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела надэн (надежда энергетики)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#87528

Госпожа Такаято решила сесть на диету и из каждых десяти дней делать четыре голодных и шесть обжорных. Сколькими разными способами она может распределить такие дни, чтобы у неё не было более двух голодных дней подряд (в рамках одной десятидневки)?

Источники: Надежда энергетики - 2024, 11.1 (см. www.energy-hope.ru)

Показать ответ и решение

Посчитаем сначала общее количество способов распределить дни без учёта условия. Заметим, что нам нужно выбрать 4 голодных дня, остальные сразу станут обжорными. Значит, их количество

4 10⋅9⋅8⋅7 C10 =---4!---= 210

Теперь посчитаем способы, которые нам не подходят под условия, чтобы вычесть их. Понятно, чтобы не выполнялось условие задачи нужно иметь хотя бы 3 голодных дня подряд, но, т.к. голодных дней всего 4 возможно два варианта:

1) У нас 3 голодных дня подряд и 1 голодный, не стоящий с ними рядом. Будем воспринимать эти 3 дня как 1, назовём его большой голодный день, т.е. теперь у нас будет 8 дней и мы распределяем большой голодный день и голодный день так, чтобы они не стояли рядом. Если большой голодный стоит первым или последним, то у обычного есть 6 вариантов, в иных случаях у него их 5. В итоге

2⋅6+ 6⋅5= 42

2) У нас 4 голодных дня подряд. Количество таких способов равно количеству способов выбрать место для первого голодного дня, оно равно 7.

В итоге количество способов распределения, подходящих под условия равно

210 − 42− 7= 161

Ответ: 161

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#71014

Каждый из шести домов, стоящих на одной стороне улицы, соединен кабельными воздушными линиями с каждым из восьми домов на противоположной стороне. Сколько попарных пересечений образуют тени этих кабелей на поверхности улицы, если никакие три из них не пересекаются в одной точке? Считайте, что свет, порождающий эти тени, падает вертикально вниз.

Источники: Надежда энергетики-2023, 11.1 (см. www.energy-hope.ru)

Показать ответ и решение

Возьмем произвольную пару домов на одной стороне улицы и произвольную пару на другой. Они являются вершинами выпуклого четырехугольника (поскольку две стороны четырехугольника, идущие от каждой выбранной пары, лежат по одну сторону прямой, т.е. углы не превосходят $∘ 180$ ), следовательно, его диагонали пересекаются.

Каждое попарное пересечение теней (кабелей) является точкой пересечения диагоналей такого четырехугольника. Таким образом, осталось найти их количество, которое равно произведению способов выбрать пару домов на каждой стороне улицы.

C26 ⋅C28 = 420.

Ответ: 420

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#76464

Охотник Пулька для своей собаки Бульки заказал на АлиЭкспресс три куля собачьего корма. Наутро после доставки один куль оказался съеден. Под подозрение попали четверо, и Незнайке удалось установить следующее.

(1) Если алиби Пончика истинно, то Сиропчик также имеет алиби.

(2) Если Пончик ел корм, то либо Сиропчик, либо Авоська тоже ел корм (либо оба вместе).

(3) Из двух показаний: «Авоська ел корм», «Пончик не ел, но при этом ел Небоська» - хотя бы одно истинное.

(4) Если Небоська ел корм, то также ел либо Авоська, либо Сиропчик (либо оба вместе).

Кого из подозреваемых Незнайка может гарантированно обвинить в поедании за ночь целого куля собачьего корма?

Источники: Надежда энергетики-2022, 11.5 (см. www.energy-hope.ru)

Показать ответ и решение

Начнем с (3). Пусть Авоська не ел корм. Тогда Пончик не ел, а Небоська ел. Из (4) получаем, что либо Авоська ел, либо Сиропчик. При сделанном предположении это означает, что ел Сиропчик. Но из (1) следует, что Сиропчик не ел корм, т.к. Пончик не ел. Получено противоречие. Следовательно, Авоська виновен (корм ел).

Рассмотреть все варианты для трех оставшихся подозреваемых,


	Авоська	Небоська	Пончик	Сиропчик

1	ел	ел	ел	ел

2	ел	ел	ел	нет

3	ел	ел	нет	ел	невозможно в силу (1)

4	ел	ел	нет	нет

5	ел	нет	ел	ел

6	ел	нет	ел	нет

7	ел	нет	нет	ел	невозможно в силу (1)

8	ел	нет	нет	нет

Видно, что каждый из подозреваемых мог как есть, так и не есть корм.

Ответ: Авоська

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#108271

При обработке числовых данных часто приходится вычислять среднее арифметическое

S(x,y)= (x +y)∕2

и решать уравнения, содержащие среднее арифметическое. Найдите все конечные (состоящие из конечного числа элементов) числовые множества $X$ такие, что для любых $a$ и $b$ из $X$ множество $X$ содержит корень $x$ уравнения

S(a,x)=b.

Источники: Надежда Энергетики - 2020, 11.4 (см. www.energy-hope.ru)

Показать ответ и решение

Имеем

S(a,x)= b⇔ x= 2b− a. (1)

Требуемым в условии задачи свойством обладает любое одноэлементное множество

X = {a}, a∈ (− ∞;∞ ), (2)

так как $S(a,a)= a.$

Допустим далее, что множество $X$ содержит по крайней мере два различных элемента $c,d,$ причем $c< d$ (без ограничения общности). Для уравнения $S(d,x)= c$ находим, согласно (1), $x =2c− d.$ Затем для уравнения $S(d,x)= 2c− d$ получаем $x= 4c− 3d,$ после чего рассматриваем уравнение $S(d,x)= 4c− 3d$ и получаем $x= 16c− 15d.$ Продолжая таким же образом, получаем последовательность решений

c,2c− d,4c− 3d,16c− 15d,... (3)

Покажем, что все её члены $xn =2nc− (2n − 1)d, n =0,1,2,...$ попарно различны. Если допустить, что $xn =xm$ при $n ⁄=m,$ то, преобразуя равенство, получим $(2m − 2n)c= (2m − 2n)d,$ откуда $c= d,$ это невозможно. Итак, множество $X$ содержит бесконечное подмножество — последовательность (3), следовательно, множество $X$ бесконечно.

Ответ:

в точности все одноэлементные множества $X ={a},a∈(−∞; ∞).$