Теория чисел на Изумруде
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все тройки натуральных чисел 
являющиеся решением уравнения 
Источники:
Подсказка 1
Обратите внимание, число 2^{xy} почти всегда значительно больше числа 2^{x + y}. Попробуйте формализовать эту идею.
Подсказка 2
Пусть x, y ≥ 6. Давайте зафиксируем y, выразим z через x и y. Осталось показать, что при больших х это выражение будет меньше 1, значит, решений не будет.
Подсказка 3
Доказывать стоит по индукции. Глобальная идея — показать, что знаменатель выражения увеличивается в большее количество раз, чем числитель при увеличении x.
Задача симметрична относительно 
и 
Пусть 
Тогда 
или 
чего не бывает. Значит,
Аналогично, 
Пусть 
Тогда 
или 
Тогда получаем решения при 
при
при 
При 
по индукции покажем, что 
то есть решений нет. База при 
верна. Рассмотрим
следующие оценки числителя и знаменателя в переходе 
и 
то есть числитель увеличился
менее, чем вдвое, а знаменатель более, чем вдвое, значит, 
уменьшилось. Теперь можно считать, что 
Тогда
Пусть 
Тогда
то есть равенства нет. Тогда 
и
Покажем, что 
при 
Снова используем индукцию: пусть 
Тогда при 
получаем 
Теперь
переход индукции:
что и требовалось. Оценим левую часть, используя полученное неравенство:
Далее 
то есть 
Тогда в левой части 
Пусть 
Тогда
по прошлой оценке, то есть равенство возможно только при 
Теперь пусть 
или 
хотя бы 
Тогда 
и
что снова противоречит оценке правой части. Значит, 
Подставляя тройку 
понимаем, что это не будет решением.
Итого, мы получили ответ из шести троек (учитывая то, что есть симметричные для 
и 
и 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
