Теория чисел на Изумруде

Предположим, что такое могло случиться. Тогда существует натуральное такое, что Значит число

является натуральным, откуда

Случай невозможен, так как тогда число

также является натуральным, откуда

Теперь если то что невозможно. Если же то

Значит,

Это невозможно. Следовательно,

Предположим теперь, что нашлись числа и с различными ненулевыми остатками при делении на 3, то есть

Поскольку число

является натуральным, то

Но тогда

Это невозможно, так как квадраты имеют остатки 0 или 1 при делении на 3. В итоге мы доказали, что числа с остатками 1 и 2 при делении на 3 не могут быть соседними.

Поскольку это означает, что после стоят несколько чисел с остатком 2 при делении на 3, затем где-то стоит число 3. Если после тройки стоит число с остатком 2 при делении на 3, то все числа далее будут с таким же остатком и в последовательности простых чисел не будет ни одного числа с остатком 1 при делении на 3 (такие есть, например, число 7).

Следовательно, после тройки стоит число с остатком 1 при делении на 3 и все числа за ним имеют такой же остаток. Но тогда до тройки стоит лишь конечное число простых чисел с остатком 2 при делении на 3.

Предположим, что простых чисел вида конечное число. Обозначим все такие числа через Число не делится на простые числа и даёт остаток 2 при делении на 3. Значит среди его простых делителей должно быть число вида — противоречие.