Теория чисел на Изумруде
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Существуют ли 4 различных натуральных числа, больших единицы, таких, что сумма квадратов любых трёх из них делится на оставшееся число, увеличенное на единицу?
Источники:
Подсказка 1
Давайте подумаем, какой здесь может быть ответ. Если ответ «нет», то непонятно, из каких соображений приходить к противоречию в общем случае. То есть доказывать неразрешимость системы сравнений при произвольных 4 числах. Тяжело. А если ответ «да», то нужно просто придумать пример. Про квадраты и делимость удобно говорить по модулям 2, 3, 4 и подобным. То есть хотелось бы, чтобы модули, по которым мы рассматриваем суммы квадратов были бы 2,3,4, то есть чтобы числа были 1,2,3.., в целом, какими-то маленькими. Единица сразу не подойдет, чисто интуитивно, она может испортить много модулей, так как ни на что не делится. А вот 2 и 3 — удачные числа. Попробуйте построить пример с ними.
Подсказка 2
Если мы хотим использовать числа 2 и 3, то удачно было бы использовать числа, которые им кратны. То есть, к примеру, 6 или что-то большее (чтобы были общие делители у каждого слагаемого из суммы квадратов). Давайте возьмем 6 и посмотрим, чему равна сумма квадратов этих трёх чисел. Она равна 49. Тогда нам либо надо брать оставшееся число равным 48, либо 6, но 6 уже взято. Поэтому давайте возьмем 48. Подходит ли такая четвёрка?
Посмотрим на числа 2, 3, 6, 48:
1) сумма квадратов 2, 3, 6 равна 48+1;
2) числа 3, 6, 48 делятся на 2+1, поэтому и сумма квадратов;
3) 
4) 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
