Последовательности и прогрессии на Изумруде

Обозначим знаменатель геометрической прогрессии через q. Предположим, что , тогда в исходной прогрессии точно присутствуют числа . Тогда по свойству арифметической прогрессии имеем

Поскольку все члены геометрической прогрессии различны, то и . Поделим первое уравнение системы на , а второе - на . Получим

Решая первое уравнение системы, как квадратное относительно , получаем

Решая второе уравнение системы, как квадратное относительно , получаем

Из этого следует, что . Если или , то . Полученное уравнение имеет решение только лишь при . Ранее было отмечено, что первые два варианта невозможны.

Если , то или . Но тогда прогрессия имеет либо вид , либо вид , что невозможно по условию.

Если или , то , откуда .

Поскольку и , то уравнение не имеет решений, а значит, .

Но , а , поэтому уравнение также не имеет решений, а значит, . При такая прогрессия существует, например, при .