Комбинаторика на Изумруде: клетчатые задачи, игры, способы, процессы
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Сколькими способами в таблице 
можно расставить числа от 1 до 9 (каждое по одному разу) так, чтобы в каждом столбце сверху-вниз
и в каждой строке слева-направо числа шли в порядке возрастания?
Источники:
Пронумеруем клетки таблицы так, как показано на рисунке. Ясно, что в левой верхней клетке стоит число 1, а в правой нижней — число 9.
| 1 |  |  |
 |  |  |
 |  | 9 |
По условию 
поэтому 
Рассмотрим случаи.
1) Если 
то числа 
и 
— это 2 и 3. Способов их расстановки всего 2. Теперь вычислим количество вариантов выбора чисел
и 
На их место можно поставить любую из оставшихся пар чисел, причём 
поэтому расстановка каждой пары определяется
однозначно. Всего таких пар 
Оставшиеся два числа расставляются однозначно. Всего получилось 
вариантов
расстановки.
2) Если 
то числа 
и 
— это 7 и 8, и случай аналогичен предыдущему. Получаем ещё 12 вариантов расстановки.
3) Если 
то посмотрим, какие числа могут стоять в клетках с номерами 
и 
На их место нельзя ставить числа 2 и 8, так
как эти числа обязаны быть соседями 1 и 9 соответственно. Если 
то 
и 
Любое из оставшихся чисел можно
поставить в клетку 
тремя способами, оставшиеся числа ставятся однозначно. Рассмотренный вариант аналогичен случаям
и 
— в каждом получаем по 3 варианта расстановки, но были дважды посчитаны случаи, когда числа 
и 
— это
3 и 7. Всего таких случаев два:
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
| 7 | 8 | 9 |
| 1 | 4 | 7 |
| 2 | 5 | 8 |
| 3 | 6 | 9 |
В итоге получаем 
вариантов.
Если ни одно из чисел в клетках 
и 
не равно 3 или 7, то в клетках 
и 
могут стоять лишь числа 4 и 6 в любом порядке.
Тогда в клетках 
и 
стоят числа 2 и 3 в любом порядке, а в клетках 
и 
— числа 7 и 8 в любом порядке. Всего 8 вариантов
расстановок.
Все случаи разобраны, искомое число вариантов равно 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
