Комбинаторика на Изумруде: клетчатые задачи, игры, способы, процессы

Для удобства обозначим изначально записанные на доске числа как .

Поскольку любые два начальных числа взаимно просты, все попарные произведения будут различными, а всего их будет . Именно столько чисел останется после того, как Максим сотрёт все изначальные числа. Все оставшиеся числа имеют вид , где . Произведение двух оставшихся чисел может быть одного из двух видов: или , где .

Всего различных чисел вида столько же, сколько и различных четвёрок чисел , а их всего . Каждое из чисел вида может быть получено тремя способами: при перемножении чисел и и или и . То есть каждое из таких чисел будет написано трижды, поэтому с учётом повторяющихся чисел всего их будет написано 630 .

Чтобы узнать количество чисел вида , необходимо вычесть из количества всех чисел количество чисел вида (с учётом повторяющихся). После второго действия до того, как будут стёрты повторяющиеся числа, их будет всего . Значит, чисел вида всего . Но каждое из чисел вида может быть получено лишь одним способом — при перемножении чисел и , поэтому повторяющихся чисел такого вида не будет. Значит, после того, как Максим сотрёт все повторяющиеся числа, на доске останется чисел.

Замечание. На олимпиаде 2021 года баллы за задачу не снимались, если условие понималось так, что после второго действия Максим стирал все числа вида .