Комбинаторика на Изумруде: клетчатые задачи, игры, способы, процессы

Докажем, что Первый не сможет поставить на доску более 4 полосок. Рассмотрим 8 закрашенных клеток:

Заметим, что любая полоска покрывает ровно одну закрашенную клетку.

Если Первый сумеет сделать четыре хода, то он покроет какие-то 4 закрашенные клетки. Чтобы не дать Первому сделать пятый ход, Второй каждый свой ход также будет покрывать какую-то серую клетку, а если в какой-то момент Второй не сможет положить полоску ни на какую закрашенную клетку, то и Первый не сможет положить полоску ни на какую закрашенную клетку, и игра закончится раньше. Значит, Второй может помешать Первому сделать 5 и более ходов.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Докажем, что Первый сможет выложить четыре полоски . Рассмотрим первые два хода Первого.

Пусть Первый своим первым ходом положил полоску на место прямоугольника 1:

После этого при любом своём ходе Второй не сможет положить полоску так, чтобы она налегала и на прямоугольник 2 , и на прямоугольник 3 . Значит, Первый своим вторым ходом сможет положить полоску либо на прямоугольник 2 , либо на прямоугольник 3. Без ограничения общности, пусть он смог положить полоску на прямоугольник 2. Затем Второй сделает свой второй ход. Поделим доску на области (a), (б), (в):

и рассмотрим все возможные варианты первых двух ходов Второго.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

1) Оба хода были совершены в область (в). Тогда своим третьим ходом Первый накрывает полоской область (а). Если после этого Второй своим ходом не задевает область (б), то Первый своим четвёртым ходом накрывает полоской область (б). Если же Второй своим ходом задевает область (б), то внутри области (в) всего две полоски . Каждая полоска пересекает либо два столбца и одну строку, либо две строки и один столбец. Значит, как бы Второй игрок не положил свои полоски в область (в), в ней найдётся хотя бы один столбец или хотя бы одна строка, которые не пересекли полоски. Именно эту строку (столбец) Первый накрывает полоской .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2) Один из ходов был совершён в область (в), а другой ход задел пересёк область (a), пересёк область (б) или не пересёк ни одну из них. Тогда своим третьим ходом Первый накрывает полоской ту область среди (а) или (б), которая не была задета полосками Второго игрока (если они обе не задеты, то Первый кладёт полоску в любую область). После третьего хода Второго в области (в) не может оказать более двух полосок , а значит, как было доказано ранее, Первый сможет положить четвёртую полоску в область (в).

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3) Оба хода не пересекли область (в). Тогда своим третьим ходом Первый накрывает полоской область третью сверху строку области (в). Как бы ни после этого не сходил Второй, хотя бы одна из строк области (в) останется нетронутой, и Первый своим четвёртым ходом накроет её полоской .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Тем самым мы доказали, что Первый сможет выложить на доску 4 полоски независимо от действий Второго.