ГМТ, расположение объектов на плоскости
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Докажите, что биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка называется центром вписанной окружности.
Подсказка 1
Начнем с малого и рассмотрим точку пересечения двух каких-нибудь биссектрис треугольника. Например, точку пересечения биссектрис из углов А и В. Пусть это будет точка I. Теперь нам нужно доказать, что I лежит на биссектрисе угла С. Что можно сказать про расстояние от точки I до сторон треугольника?
Подсказка 2
Точка I равноудалена от AC и АВ, так как лежит на биссектрисе угла А. Ещё эта точка равноудалена от АВ и ВС, так как лежит на биссектрисе угла В. Тогда равноудалена ли она от сторон угла С?
Проведем биссектрисы углов 
и 
и обозначим точку их пересечения через 
Тогда по свойству биссектрисы как
ГМТ, точка 
так как она принадлежит биссектрисе угла 
равноудалена от прямых 
и 
и, так как точка 
принадлежит биссектрисе угла 
равноудалена от прямых 
и 
Но тогда указанная точка 
равноудалена от всех трех
прямых, значит, равноудалена от сторон 
и 
угла 
и по признаку биссектрисы лежит на биссектрисе угла
Таким образом, точка 
принадлежит всем трем биссектрисам, значит, эти три биссектрисы пересекаются в одной
точке.
Точно так же доказывается, например, что серединные перпендикуляры к трем сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
Если предыдущие рассуждения вызывают трудности, попробуйте доказать это сами.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
