ГМТ, расположение объектов на плоскости

(a) Если записать площади по формуле через синусы, то мы получим равенство: Приведём равенства к следующему виду: . Мы знаем, что по теореме синусов Продлим до пересечения с в точке Тогда получаем, что Перепишем это равенство так: По теореме синусов левая часть последнего равенства равна а правая — Значит, то есть все такие точки лежат на медиане треугольника, проведённой к

Чтобы доказать, что для любой точки на медиане справедливо равенство равенство достаточно проделать эти же рассуждения, но в обратном порядке, исходя из равенства

(b) Проведём медиану отметим на ней такую точку то Нетрудно видеть, что Следовательно, а значит по рассуждениям из предыдущего пункта точка лежит одновременно на всех медианах треугольника

(c) Рассуждения аналогичны первому пункту, но в некоторых случаях надо дополнительно использовать, что синусы смежных углов равны.