ГМТ, расположение объектов на плоскости
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Диагонали выпуклого четырёхугольника 
равны и пересекаются в точке 
Точка 
внутри треугольника 
такова, что
и 
Докажите, что точка 
лежит на биссектрисе угла 
Подсказка 1
Что нам вообще нужно доказать? Что точка лежит на биссектрисе угла! Как это можно иначе описать?
Подсказка 2
Что точка равноудалена от сторон угла! То есть перпендикуляры, опущенные из точки P на АО и ОD должны быть равны. Заметим так же, что эти перпендикуляры являются высотами треугольников APC и BPD. Что в таком случае можно сказать про эти треугольники?
Подсказка 3
Их площади должны быть равны! Так как AC = BD по условию, а высоты, опущенные на эти стороны должны быть равны. То есть, если мы докажем равенство площадей треугольников APC и BPD, то мы решим задачу.
Подсказка 4
Если у двух треугольников общее основание, а третья вершина и одного, и второго треугольника лежит на прямой, параллельной основанию, то площади этих треугольников равны, так как у них равны основание и высота. Этот факт в принципе важно запомнить для решения задач по геометрии!
Подсказка 5
В нашей задаче есть две пары параллельных прямых, то есть мы так же можем сравнить площади некоторых треугольников. Например, какой треугольник равновелик треугольнику APC, учитывая то, что АВ параллельна СР?
Поскольку 
, площади треугольников 
и 
равны. Поскольку 
площади треугольников 
и 
равны. Следовательно, площади треугольников 
и 
равны. Так как 
равны и высоты этих треугольников, опущенные
на стороны 
и 
соответственно. Но это означает, что точка 
лежащая внутри угла 
равноудалена от его сторон, и
потому лежит на его биссектрисе, что и требовалось доказать.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
