ГМТ, расположение объектов на плоскости

Давайте “построим задачу” немного в другом порядке, чтобы понять, где находятся точки. Для начала начертим отрезок и найдём, где лежат точки и . Докажем, что они лежат по ту же сторону от серединного перпендикуляра к , что и точка :

Если M лежит левее серединного перпендикуляра, то точно пересекает его (пусть точка ). Тогда , . Значит, . В напротив большего угла лежит большая сторона . Таким образом, мы доказали, что каждая точка левой полуплоскости нам подходит.

Теперь докажем, что других точек таких, что нет. Действительно, если мы возьмём какую-то точку правее серединного перпендикуляра, получим для неё то же, к чему пришли выше, только для точки : . Значит, нам подходят только точки левее серединного перпендикуляра.

Таким образом, мы доказали, что точки и лежат левее серединного перпендикуляра к Тогда весь отрезок и его середина будет лежать в левой полуплоскости относительно серединного перпендикуляра к А значит, из доказанного выше,