Индукция в графах и теорема Турана

Давайте будем говорить о направлении обхода в цикле. Он бывает по часовой стрелке и против часовой. Покажем, что смежные грани имеют разные направления обхода и все проходы муравья по ребрам будут соответствовать направлениям обхода соответствующих граней. Сделаем это индукцией по построению прямых. Изначально есть только стартовая прямая, она делит плоскость на части с разными направлениями обхода. Когда мы встретим первый перекресток, добавится очередная прямая. Её добавление инвертирует направления обхода в полуплоскости, отличной от той, в которой сейчас жук. Тогда поворот направо по этой прямой сохранит обход грани, по ребру которой мы пришли (по часовой), а в смежной грани направление обхода как раз против часовой, поскольку мы его инвертировали. Аналогично, поворот налево тоже всё сохранит. Таким образом, наша ситуация всегда корректна, значит направление обхода по каждому ребру зафиксировано. Что и требовалось доказать.