Индукция в графах и теорема Турана
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Определение. Назовем 
-деревом следующую конструкцию: из корня дерева выходят 
ребер, ведущих к вершинам первого уровня; из
каждой вершины первого уровня выходит еще по 
ребер, ведущих к вершинам второго уровня и т.д., наконец, из каждой вершины
-го уровня ведут 
ребер к вершинам 
-го уровня, которые являются висячими.
Висячие вершины 
-дерева покрашены в 
цветов. Докажите, что из него можно выбрать 
-поддерево с тем же корнем так,
чтобы висячие вершины поддерева были покрашены не более, чем в 
цветов.
Подсказка 1
По индукции хочется уметь красить предыдущий уровень, применять в нём предположение и получать искомую раскраску. Когда цветов очень много, неясно, как именно красить, поэтому хочется уменьшить число цветов.
Подсказка 2
Давайте оставим всего 3 цвета(каким образом?) и будем искать одноцветное поддерево. Тогда ясно, как покрасить предыдущий уровень и получить решение.
Давайте оставим в задаче только 
цвета. Все вершины с цветами от 
до 
будут цвета 
аналогично определим цвета 
и 
Теперь будем доказывать задачу индукцией по 
если у нас есть 
цвета, то мы хотим найти одноцветное поддерево. База очевидна по
принципу Дирихле, теперь докажем переход. Раскрасим вершины 
-го уровня таким образом: пусть есть хотя бы два цвета 
на
-ом уровне, тогда покрасим вершину на 
-ом в цвет 
По предположению индукции можно выделить 
-поддерево, все
вершины которого будут одного цвета. Тогда давайте к каждой вершине добавим по 
висячие цвета 
Такие найдутся
по нашему методу покраски. Переход доказан. Мы получили даже более сильное утверждение, так что исходная задача
верна.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
