Тема . Счётная планиметрия

Двойные отношения и гармонические четвёрки

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела счётная планиметрия
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#104981

Докажите, что следующие четверки гармонические.

(a) (A,   B,  M,   P∞),  где M   — середина отрезка AB,  а P∞  — бесконечно удаленная точка вдоль прямой AB.

(b) На вещественной прямой отметим точки O (0),  A(a),  B (b).  Докажите, что (A,B,O,X)= −1  тогда и только тогда, когда координата X  равна среднему гармоническому чисел a  и b.  (Отсюда и взялось название гармоническая четверка).

Показать доказательство

(a) По определению двойного отношения,

            AM-   AP∞   AM-
(A,B,M, P∞)= BM--:BP∞- = BM-= −1

поскольку M  принадлежит отрезку AB  и |AM |=|BM |.

(b) По определению двойного отношения,

           --- ---
(A,B,O,X )= AO-:BO- = -−a-:-−b- = a ⋅ x−-b= −1
           AX  BX    x− a x − b  b x− a

тогда и только тогда, когда ax− ab =ab− bx,  что равносильно

   --2--
x= 1a + 1b

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!