Двойные отношения и гармонические четвёрки

Пусть у нас есть треугольник и мы хотим достроить его до гармонического так, что его четвёртая вершина лежит на дуге Пусть — биссектриса треугольника Тогда знаем, что (последнее равенство верно в силу гармоничности). То есть является биссектрисой угла Давайте докажем, что единственная такая точка. Для этого просто приведём её построение. Пусть — середина дуги описанной окружности треугольника Тогда точка является повторной точкой пересечения прямой с описанной окружностью треугольника Откуда следует её единственность.