Двойные отношения и гармонические четвёрки

Лемма. Пусть дана окружность и четыре точки на ней. Возьмём произвольную точку на окружности и проведём в ней касательную. Теперь проведём касательную в точке Обозначим точку пересечения двух проведённых касательных через Аналогично определим точки Утверждается, что

Доказательство. Рассмотрим окружность, касающуюся внутренним образом в точке с два раза меньшим радиусом, чем у Пусть пересекает вторую окружность в По построению окружности Также нетрудно заметить, что точки лежат на одной прямой, потому что и симметричны относительно Аналогично определим точки C одной стороны, потому что окружности гомотетичны. С другой стороны, через точку можно спроецировать на Лемма доказана.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Теперь применим её к задаче. По лемме Четвёрка — гармоническая. Значит, четырёхугольник — гармонический. Отсюда получаем, что касательные в и диагональ пересекаются в одной точке, что и требовалось.