Двойные отношения и гармонические четвёрки

Обозначим через прямые через прямые, проходящие через ортоцентр параллельно соответственно. Далее обозначим через прямые, проходящие через вершину параллельно прямым и пусть — точки пересечения боковой стороны с и соответственно.

Так как пучок является образом пучка при повороте на прямой угол с центром в ортоцентре,

тогда и только тогда, когда

Умножая на получаем:

С другой стороны, поскольку

следует, что

Что есть равенство двойных отношений и Пересекая с и с заключаем:

Для точки обозначим через вектор где — фиксированная точка в плоскости треугольника Так как существуют действительные числа с такие что:

Кроме того, поскольку делят отрезки и в одинаковом отношении, существуют с такие что:

Следовательно,

Учитывая, что это означает, что лежит на прямой