Двойные отношения и гармонические четвёрки

Пусть пересекает окружность в точке а из точки на прямую опущен перпендикуляр Из основной задачи о симедиане следует, что прямая содержит симедиану треугольника

Первое решение.

и антипараллельны относительно так как из прямоугольного треугольника (предельный случай антипараллельности, когда получаем не вписанный четырёхугольник, а касательную к описанной около треугольника окружности). Симедиана к делит пополам антипараллельный отрезок что и требовалось.

Поясним это: поскольку (опирается на диаметр). В силу наличия у них общего угла, можно заметить, что получается из симметрией относительно биссектрисы угла (при такой симметрии прямые и поменяются местами) и гомотетией. При симметрии относительно биссектрисы медиана станет симедианой, оттого ставшая симедианой содержит медиану

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

В прямоугольном треугольнике высота совпадает с симедианой, значит, точка пересечения прямых и является точкой Лемуана для треугольника По теореме Шлёмильха в точке Лемуана пересекаются отрезки, соединяющие середины сторон с серединами проведённых к ним высот. Но в данном случае эта точка уже лежит на высоте, а значит, является серединой высоты.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Третье решение. Обозначим через вторую точку пересечения прямой и а через и основание и середину перпендикуляра из точки на Касательные к в точках и пересекаются на прямой откуда следует, что четырёхугольник гармонический.

Делая проекцию четвёрки точек из точки на прямую получаем, что

Предпоследнее равенство следует из того, что касательная в точке к параллельна прямой так как она перпендикулярна диаметру как и прямая Значит, является серединой