Двойные отношения и гармонические четвёрки
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольнике 
высоты 
и 
пересекаются в точке 
точка 
— середина стороны 
а 
— точка пересечения
внутренних касательных к окружностям, вписанным в треугольники 
и 
Докажите, что точки 
и 
лежат на одной
прямой.
Источники:
Подсказка 1
Пока не совсем понятно, как доказывать вопрос задачи. Углы тут совсем никак не помогут, потому что к ним не подобраться... Давайте попробуем пока в принципе отметить факты на картинке, может быть, что-нибудь в дальнейшем увидим. Например, поймём, где у нас лежат центры вписанных окружностей? Какое дополнительное построение хорошо бы сделать, когда отмечена середина стороны?
Подсказка 2
Верно, центры окружностей лежат на серединном перпендикуляре к сторонам BF и CE, так как треугольники у нас равнобедренные. К тому же если у нас уже есть по средней линии в треугольниках, то давайте проведём ещё по одной параллельно сторонам BF и CE. Значит, у нас уже есть биссектрисы углов B и C, соотношения для которых мы уже можем записать. И попробуем поделить одно соотношение на другое, хуже нам от этого не станет, к тому же у них есть одинаковый отрезок. Давайте немного подумаем. Мы работаем только с отрезками... А как с помощью них можно доказать принадлежность трёх точек одной прямой?
Подсказка 3
Точно, можно доказать, что точка X переводится гомотетией в точку H. Но... Доказывать это через треугольники точно не хочется. Это нужно продлевать серперы до пересечения с линией, параллельной отрезку, проходящего через центры окружностей... Так мы ничего добьёмся. Давайте попробуем доказать утверждение через равенство отношения расстояний от точек X и H до серперов. Одно большое соотношение мы уже получили. Тогда давайте и попробуем выйти через него на отношение расстояний. Давайте взглянем ещё раз внимательно на условие. Чем мы ещё не пользовались?
Подсказка 4
Верно, мы совсем забыли про точку X, а она является центром гомотетии двух окружностей! То есть можем ещё записать отношения с радиусами и двумя отрезками, нужными нам. Остаются только некоторые технические преобразования с отношениями, и победа!
.png)
Первое решение.
Пусть 
- середины высот 
и 
а 
- середины отрезков 
и 
Обозначим окружности, вписанные в
треугольники 
через 
а их центры - через 
и 
соответственно. Треугольники 
и 
-
равнобедренные, поэтому точки 
и 
лежат на соответствующих высотах 
и 
этих треугольников. Отрезки 
и 
являются биссектрисами треугольников 
и 
поэтому, записывая для них основное свойство биссектрисы, получаем
соотношения 
Разделив первое на второе и учитывая равенство 
получаем, что 
Поскольку 
- центр гомотетии, переводящей 
в 
то 
лежит на линии 
и верно равенство: 
Но
тогда
где 
обозначает расстояние от точки 
до прямой 
С другой стороны, по свойству средней линии 
и 
то есть 
и 
Значит 
и 
- прямоугольники, то есть 
и 
Тогда выполнены
равенства
где последнее равенство выполнено, поскольку 
и 
есть в точности общие перпендикуляры к парам параллельных прямых
и 
Собирая все доказанные равенства вместе, получаем, что
откуда следует, что точки 
и 
лежат на одной прямой.
Второе решение.
Как и в первом решении обозначим окружности, вписанные в треугольники 
и 
через 
их центры через 
и 
соответственно, а середины отрезков 
и 
— через 
и 
Пусть также 
— точка пересечения внешних касательных к
Заметим, что четвёрка точек 
— гармоническая, то есть двойное отношение 
равно 
Спроецируем эту
четвёрку точек на прямую 
с центром в точке 
Точка 
лежит на прямой 
поскольку эта прямая является одной из внешних
касательных к 
и 
поэтому 
перейдёт в 
Точка 
перейдёт в точку 
пересечения прямых 
и 
которая является
серединой 
поскольку в треугольнике 
отрезок 
— средняя линия. Точка 
перейдёт в бесконечно удалённую точку
прямой 
поскольку 
Но при центральной проекции сохраняется двойное отношение четвёрки точек, а четвёрка 
— гармоническая. Значит,
образом точки 
при данной проекции является точка 
что и требовалось доказать.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
