Двойные отношения и гармонические четвёрки

Первое решение

Пусть — точка касания вписанной окружности и стороны . Заметим, что — поляра точки относительно вписанной окружности. Точка лежит на и а значит прямая — поляра точки относительно вписанной окружности. Пусть пересекает в точке . Тогда Проецируя из точки на прямую мы получаем, что Следовательно, точка лежит на поляре точки относительно описанной окружности. Поэтому поляра точки относительно вписанной и описанной окружности, а значит, по определению поляры и . Следовательно, точки лежат на одной прямой.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение

— поляра точки относительно вписанной окружности следовательно будет лежать на поляре относительно — точка касания и — касательная к следовательно тоже лежит на поляре относительно Тогда — поляра относительно

Из теоремы Чевы для точки Жергона и из теоремы Менелая для и прямой получаем: Откуда следует, что Но т.к. еще и точка пересечения касательной из и то причем Но и Тогда точка лежит на симедиане угла Значит, проходит через точку пересечения касательных к описанной окружности в точках и Но через эту же точку и точку пройдет поляра относительно описанной окружности.

Получается, — одновременно поляра точки к описанной и вписанной окружностям треугольника А значит, и лежат на одной прямой.