Двойные отношения и гармонические четвёрки
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольнике 
вписанная окружность касается сторон 
и 
в точках 
и 
Оказалось, что прямые 
и
касательная к описанной окружности 
в точке 
пересекаются в одной точке 
Докажите, что 
центр вписанной окружности
и центр описанной окружности 
лежат на одной прямой.
Подсказка 1
Обозначим за A_1 точку касания вписанной окружности и стороны BC. Через какие тогда точки проходит поляра точки D относительно вписанной окружности?
Подсказка 2
Верно! Точки A и A_1 точно лежат на этой поляре. Пусть AA_1 пересекает B_1C_1 в точке X. Чему тогда равно (D,X,B_1,C_1)?
Подсказка 3
Правильно! (D,X,B_1,C_1) = -1. Куда это двойное отношение можно спроецировать? Какой вывод из новой гармонической четверки можно будет сделать?
Подсказка 4
Точно! Мы получим, что (D,A_1,B,C) = -1, поэтому AA_1 — поляра точки D относительно описанной окружности △ABC. Теперь остается дважды воспользоваться определением поляры.
Первое решение
Пусть 
— точка касания вписанной окружности и стороны 
. Заметим, что 
— поляра точки 
относительно вписанной
окружности. Точка 
лежит на 
и 
а значит прямая 
— поляра точки 
относительно вписанной окружности. Пусть
пересекает 
в точке 
. Тогда 
Проецируя из точки 
на прямую 
мы получаем, что
Следовательно, точка 
лежит на поляре точки 
относительно описанной окружности. Поэтому 
поляра
точки 
относительно вписанной и описанной окружности, а значит, по определению поляры 
и 
. Следовательно,
точки 
лежат на одной прямой.
.png)
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Второе решение
— поляра точки 
относительно вписанной окружности 
следовательно 
будет лежать на поляре 
относительно 
— точка касания 
и 
— касательная к 
следовательно 
тоже лежит на поляре 
относительно 
Тогда 
— поляра 
относительно 
Из теоремы Чевы для точки Жергона 
и из теоремы Менелая для 
и прямой 
получаем: 
Откуда следует, что 
Но т.к. 
еще и точка пересечения касательной из 
и 
то 
причем
Но 
и 
Тогда точка 
лежит на симедиане угла 
Значит, 
проходит через
точку пересечения касательных к описанной окружности 
в точках 
и 
Но через эту же точку и точку 
пройдет поляра 
относительно описанной окружности.
Получается, 
— одновременно поляра точки 
к описанной и вписанной окружностям треугольника 
А значит, 
и 
лежат на одной прямой.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
