Двойные отношения и гармонические четвёрки
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
, пересекают прямую 
в точках 
и 
. Известно, что 
, а
. Докажите, что 
— биссектриса угла 
.
проведена высота 
и отмечены центры 
, 
вписанной и вневписанной
окружностей. Докажите, что прямые 
, 
симметричны относительно прямой 
.
Подсказка 1
Как можно переформулировать доказываемое утверждение для треугольника IH_AI_A?
Подсказка 2
H_AX и H_AA являются соответственно внутренняя и внешняя биссектриса данного треугольника. Что в таком случае можно сказать про четверку точек (A, I, X, I_A)?
Подсказка 3
Ясно, что в этом случае она является гармонической. А является ли это условие достаточным? Докажите, что если (A, I; X, I_A)=-1, то H_AX H_AX и H_AA являются биссектрисами соответствующих углов.
Подсказка 4
Осталось показать, что (A, I; X, I_A)=-1. Докажите, что (BA, BI; BX, BI_A)=-1
(a) Отметим на прямой точку 
такую, что 
и 
— биссектрисы 
причем одна из них — внешняя, а вторая — внутренняя.
Это возможно, так как угол между ними 
Тогда двойное отношение 
Как известно, по значению двойного
отношения и трём точкам однозначно восстанавливает четвёртая, следовательно, 
и 
совпадают, значит, 
— биссектриса угла
(b) Пусть биссектриса угла 
треугольника 
пересекает сторону 
в точке 
Заметим, что 
Покажем, что
четверка точек 
является гармонической. Посмотрим на четверку прямых 
Известно, что такая четверка
прямых является гармонической, но тогда и 
— гармоническая четвёрка.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
