Двойные отношения и гармонические четвёрки
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В остроугольном треугольнике 
высоты 
и 
пересекаются в точке 
и 
— проекции точек 
и 
на 
соответственно. Пусть 
— точка пересечения 
и 
Найдите 
Подсказка 1
Когда просят найти отношение, оно обычно 2:1, либо 1:1. Первое бывает, когда видны какие-то серединки, равные отрезки и тому подобное. Давайте доказывать 1:1. Как при помощи гармонических четверок показать, что H - середина?
Подсказка 2
H играет в задаче ключевую роль, поэтому хочется побольше точек на прямых отметить через H. Пересеките FE и AH и поищите с новой точкой гармонические четверки.
Подсказка 3
Хочется, чтобы H была серединой, еще QR || AP. Попробуйте предположить, что H середина, и рассмотреть прямые через P. Что нужно доказать для полного решения?
Докажем, что четверка прямых 
— гармоническая. Пусть 
пересекает 
в точке 
Спроецируем четверку
прямых на прямую 
По теореме о полном четырехстороннике для 
четверка точек 
— гармоническая, откуда
получаем, что и четверка прямых 
— гармоническая. Но тогда после проецирования на прямую 
получаем, что
— середина 
так как 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
