Двойные отношения и гармонические четвёрки
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть в треугольнике 
вписанная окружность касается сторон 
и 
в точках 
и 
соответственно. Пусть 
такая
точка внутри треугольника 
что вписанная окружность треугольника 
касается 
и 
в 
и 
соответственно.
Докажите, что 
вписанный.
Подсказка 1
Вспомните методы доказательства вписанности четырехугольника. Какие из них можно применить в данной задаче?
Подсказка 2
Довольно быстро становится ясно, что посчитать углы в данной задаче получится с трудом, таким образом, доказательство, скорее всего, будет опираться на понятие степени точки. Давайте найдем точку, для которой было бы удобно считать ее степень.
Подсказка 3
Ясно, что в качестве кандидатов выступают точки пересечения сторон или диагоналей четырехугольника EFZY. Какая из трех возможных точек является наиболее перспективной?
Подсказка 4
Точка пересечения прямых FE и ZY, назовем ее S. Она наиболее естественна, потому что хорды FE и ZY являются хордами некоторых окружностей на рисунке, следовательно, степень точки S относительно предполагаемой окружности равна степени S относительно тех самых окружностей. Какому условию должна удовлетворять точка S, чтобы степени точки относительно вписанных окружностей были равны?
Подсказка 5
Точка S должна лежать на их радикальной оси — прямой BC. Как это можно доказать?
Подсказка 6
Нередко, чтобы показать, что точки пересечения P и Q некоторых прямых с прямой, содержащей сторону треугольника MN совпадают, можно доказать, что совпадают точки R и T, которые дополняют тройки точек (M, P, N) и (M, Q, N) до гармонических. Пусть прямая FE пересекает прямую BC в точке S1. Как можно определить точку, которая дополняют тройку (B, S1, N) до гармонической?
Подсказка 7
Пусть точка L1 — точка пересечения прямых CF и BE. Тогда искомая точка лежит на прямой AL1. Что можно сказать, про точку L?
Подсказка 8
Это точка Лемуана треугольника ABC. Тогда AL1 пересекает BC в точке D. Аналогично, AL2, где L2 — точка Лемуана треугольника BXC, пересекает BC в точке D.
Лемма. Пусть вписанная окружность треугольника 
касатеся его сторон 
и 
в точках 
и 
соответственно. Тогда
прямые 
и 
пересекаются в одной точке.
Доказательство. Следует из теоремы Чевы, так как отрезки, на которые точки разбивают стороны, легко находятся.
Перейдём к решению задачи. Пусть 
пересекается с 
и 
в точках 
и 
Так как прямые 
и 
пересекаются в
одной точке, то из теоремы о полном четырёхстороннике получаем, что 
Так как прямые 
и 
пересекаются в
одной точке, то из теоремы о полном четырёхстороннике получаем, что 
Следовательно, 
Но тогда по теореме о
секущей и касательной получаем, что 
откуда и следует что точки 
и 
лежат на одной
окружности.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
