Двойные отношения и гармонические четвёрки
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан остроугольный треугольник 
Перпендикуляр из 
к прямой 
пересекает окружность, построенную на 
как на
диаметре, в точках 
и 
(
ближе к 
, чем 
Аналогично перпендикуляр из 
к прямой 
пересекает окружность,
построенню на 
как на диаметре, в точках 
и 
ближе к 
чем 
Докажите, что прямые 
и 
пересекаются в
одной точке либо параллельны.
Подсказка 1
У вас есть две прямые проходящие через ортоцентр, на них взяли по 3 точки, просят доказать, что прямые через них проходящие конкурентны. Какие способы доказательства подобного рода утверждений вы знаете?
Подсказка 2
Можно доказать, что двойные отношения на каждой прямой будут равны -1, тогда прямые пересекутся в одной точке(почему?).
Воспользуемся без доказательства следующим известным утверждением:
Лемма. Пусть 
— вписанный в окружность 
четырехугольник. Прямые 
и 
пересекаются в точке 
и 
— в
точке 
Прямая 
пересекает 
в точках 
и 
Тогда ![[P,Q;U,V ]=− 1.](/api/latex-service/v1/GetSession/189701/index-88b812098c800f38cffa869a51883432.svg)
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Вернемся к доказательству задачи. Пусть 
— основания высот из вершин 
соответственно, 
— ортоцентр треугольника
.png)
Точки 
и 
лежат на окружности с диаметром 
кроме этого 
и 
точки пересечения соответственно пар прямых 
и
следовательно, в силу леммы, ![[B,H;X,Y ]=− 1.](/api/latex-service/v1/GetSession/189701/index-f70a2d4ed5742ddf7f7d3fc060e1dede.svg)
Аналогично, ![[C,H;Z,T]=− 1.](/api/latex-service/v1/GetSession/189701/index-2898882e22dae540da79406a918e2a1a.svg)
Таким образом, соответствующие четверки
имеют равные двойные отношения и общую точку, что влечет конкурентность прямых, проведенных между соответствующими точками
указанных четверок.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
