Комплексные числа для планиметрии

Расположим четырехугольник на комплексной плоскости. Пусть — комплексные координаты его вершин. Пусть — середины сторон соответственно. Тогда Аналогично То есть условие равенства средних линий равносильно равенству

Начнем аккуратно раскрывать скобки. Во-первых, слагаемые и будут с обеих сторон, и они сократятся. Также сокращаются и слагаемые и Оставшиеся слагаемые будут с разными знаками, поэтому они удвоятся. Перегруппируем их так, чтобы с каждой стороны все слагаемые были с положительным коэффициентом. Получим

С другой стороны перпендикулярность диагоналей равносильна равенству

После несложного раскрытия скобок получаем

То есть мы получили то же самое условие.