Комплексные числа для планиметрии

Пусть описанная окружность треугольника является единичной с центром в нуле, и треугольник положительно ориентирован. Обозначим через комплексное число, отвечающее повороту на против часовой стрелки, через — отвечающее повороту на по часовой стрелке. Тогда центр вписанной окружности имеет координату Обозначим середины дуг через и соответственно. Тогда Поскольку является является проекцией на хорду получаем Аналогично

Легко проверить, что откуда угол (как ориентированные). Значит, откуда

Аналогично Таким образом

Последнее выражение является чисто мнимым, откуда заключаем, что Тогда и что и требовалось доказать.