Степени вхождения простых
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На доске в строчку написано 
подряд идущих натуральных чисел в порядке возрастания. Под каждым из этих чисел написан его
делитель, меньший этого числа и больший 
Оказалось, что эти делители тоже образуют строчку подряд идущих натуральных чисел в
порядке возрастания. Докажите, что каждое из исходных больше, чем 
где 
— все простые числа, меньшие
Подсказка 1
Попробуйте выделить некоторый инвариант для всех пар (a, b) чисел верхней строчке и числа под ним.
Подсказка 2
Для всех пар разность a-b фиксирована. Пусть она равна c. Что можно сказать про с?
Подсказка 3
Для любой пары (a, b) число c делится на НОД(a, b). Как можно оценить снизу значение c?
Подсказка 4
В нижней строчке встречается по крайней мере одно число, которое кратно числу k при всех k <= n. Как эти рассуждения можно связать с простыми числами меньшими n?
Подсказка 5
Число c делится на наибольшую не превосходящую n степень любого простого числа p, меньшего n, а, значит, и на произведение этих степеней по всем таким p. Как это помогает получить искомую оценку?
Подсказка 6
Пусть p^s — наибольшая степень p, не превосходящая n, тогда любое из исходных чисел не меньше чем, с > p^s > n/p для любого p.
Заметим, что все разности между числами и записанными под ними их делителями равны одному и тому же числу 
Пусть 
— простое
число, меньшее 
а 
— наибольшая его степень, не превосходящая 
Тогда среди чисел во второй строке найдется
делящееся на 
Но тогда на 
делится и записанное над ним число в первой строке, а, значит, и число 
Таким образом,
число 
делится на наибольшую не превосходящую 
степень любого простого числа 
меньшего 
а, значит, и на
произведение этих степеней по всем таким 
Осталось заметить, что 
и любое число в исходной строке больше
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
