Степени вхождения простых
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На доске в ряд выписано 
простых чисел, среди которых не более, чем 
различных. Докажите, что существует несколько подряд
идущих чисел, произведение которых является точным квадратом.
Подсказка 1
Отношения произведений первых k чисел дают все произведения подряд идущих чисел. Какое тогда условие можно придумать для того, чтобы некоторое произведение подряд идущих чисел давало точный квадрат?
Подсказка 2
Количество различных чисел в нашей последовательности ограничено, значит, все числа имеют понятный вид! Осталось разделить отношение первых k на отношение первых m и понять, при каком условии получается точный квадрат!
Подсказка 3
Верно! Все произведения подряд идущих чисел являются произведениями степеней простых, содержащихся в нашем ряде. Тогда степени вхождений соответствующих простых по четности совпадают. Осталось доказать, что найдутся два набора, у которых степени простых совпадают по четности! Как это сделать?
Рассмотрим произведения первых 
чисел в ряду. Всего таких произведений 
(также учитваем произведение, в котором 
простых
чисел, будем считать, что оно равно 
).
Ясно, что произведение чисел любой подпоследовательности этого ряда — частное каких-то двух произведений первых чисел.
Пусть ряд состоит из чисел 
Тогда любое произведение первых чисел имеет вид 
Если мы найдём два
произведения первых чисел, у которых чётности соответствующих 
совпадают, то мы найдём подпоследовательность ряда, произведение
чисел которой равно квадрату.
Всего существует 
наборов чётностей 
(каждое 
либо чётное, либо нет). Осталось заметить, что 
Значит,
найдутся два произведения с одинаковым набором чётностей у 
получили требуемое.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
