Степени вхождения простых

Решение 1. Ясно, что положим где — натуральное, и будем искать количество подходящих то есть таких для которых уравнение

имеет решение в натуральных Преобразуем, пользуясь формулой суммы арифметической прогрессии. Получим:

Умножив на и приведя подобные слагаемые получаем:

Слева в уравнении (*) два сомножителя разной чётности, дающие в произведении при этом левый сомножитель больше правого. Наоборот, если зафиксировать нечётный делитель числа то, зная найдём дополнительный делитель и далее из системы однозначно находим натуральное (равное

Итак, количество подходящих равно количеству нечётных делителей числа которое, в свою очередь, равно количеству всех делителей числа где (нечётное) получается из делением на наибольшую степень двойки, входящую в разложение Но количество делителей точного квадрата нечётно (так как все делители числа кроме можно разбить на пары: и только делитель остаётся без пары).

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Решение 2.

Очевидно, где натуральное. Запишем равенство из условия в виде

Отсюда:

Чтобы условие задачи выполнялось с данным необходимо и достаточно, чтобы было целым неотрицательным.

Положим где нечётное, целое неотрицательное. Тогда будет целым в двух случаях: (а) если оба члена равенства (**) целые (б) если оба они полуцелые Первый случай имеет место, когда — нечётный делитель числа то есть делитель числа Количество таких значений нечётно, поскольку это всевозможные делители полного квадрата. Второй случай означает, что

где — делитель числа Между первым и вторым множеством значений есть биекция: каждому из первого множества соответствует число из второго множества, и обратно.

Пусть — пара из указанной биекции, причём Тогда при получится неотрицательное а при отрицательное. Действительно, в силу требуется проверить неравенство

Но что и требовалось. Поэтому подходящих значений будет ровно то есть нечётное количество.