Степени вхождения простых
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Существует ли бесконечная арифметическая прогрессия с ненулевой разностью, состоящая только из степеней (выше первой) натуральных чисел?
Подсказка 1
Работать напрямую с условием, что число — степень выше первой, неудобно. Лучше перейти к простым множителям: как выглядит разложение на простые у таких чисел?
Подсказка 2
Работать сразу со всеми простыми множителями сложно, поэтому попробуйте сосредоточиться на одном фиксированном простом p. Было бы неплохо найти член прогрессии, в который p входит в первой степени. Как можно такое устроить?
Подсказка 3
Вспомните, что если арифметическая прогрессия покрывает все остатки по модулю p², то среди её членов найдётся число, которое делится на p, но не на p². Как организовать покрытие всех остатков? Какое простое p стоит для этого выбрать?
Подсказка 4
Рассмотрите простое p, взаимно простое с первым членом прогрессии и её разностью. Возьмите достаточно много первых членов прогрессии и посмотрите на их остатки по модулю p².
Если натуральное число делится на некоторое простое число 
но не делится на 
то оно точно не является степенью выше
первой. Попробуем найти такой член в прогрессии. Пусть 
— первый член, 
— разность. Возьмём простое число, на
которое не делятся 
и 
Среди первых 
членов точно найдётся такой член 
который делится на 
(потому что
эти члены дают попарно разные остатки при делении на 
). Этот член является хотя бы второй степенью, значит, он
делится и на 
Рассмотрим член 
Ясно, что он делится на 
но не на 
То есть такой последовательности
нет.
Не существует
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
