Степени вхождения простых

Запишем равенство в следующем виде: Если какая-то из переменных равна то вторая тоже равна Пусть теперь ненулевые и степень вхождения в равна а в — Если то в левой части степень вхождения равна а в правой Получаем противоречие, так как пять входит в левую часть в большей степени, чем в правую. Пусть теперь Тогда в левую часть входит в степени а в левую — причём эти числа не равны между собой. Ясно, что эти степени вхождения должны быть равными, иначе равенства не будет. Однако потому что остатки при делении на разные. Значит, и получаем Пусть тогда а причём и не содержат степени пятёрок. Запишем теперь в новых обозначениях наше уравнение, сократим максимальную степень пятёрки и разложим на скобки выражение. Получаем

Пусть и имеют НОД не равный Но тогда после его сокращения(слева и из каждого множителя справа получается ) правая часть будет делиться на какой-то простой множитель, входящий в но в левой части его не будет. Противоречие. В ином случае получаем, что но тогда они равны нулю, поэтому и Этот случай уже рассмотрен.