Степени вхождения простых

Приведём дроби к одному знаменателю: Будем считать, что переменные взаимно просты, иначе можно просто сократить на НОД. Пусть некоторое простое число входит в в некоторой натуральной степени. Все переменные на делиться не могут. Пусть на делится только одна переменная, например Чтобы дробь была целой, необходимо, чтобы делилось на но этого не может быть, поскольку не делится на а — делится.

Значит, число распределено по двум переменным. Пусть оно входит в в степени а в — в степени Тогда в оно входит в степени в — в степени в — в степени

Ясно, что поскольку знаменатель, а также второе и третье слагаемые числителя делятся на а значит и делится на Значит степень вхождения в не меньше Предположим, что Заметим, что знаменатель делится на так как он делится на а Также на делятся первое и второе слагаемые числителя. Значит, на делится и однако входит в это число лишь в степени Значит, то есть входит в в степени В силу произвольности выбора получаем требуемое.