Степени вхождения простых
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Натуральные числа 
таковы, что 
— целое. Докажите, что 
— точный куб.
Подсказка 1
Заметим, что можно предполагать, что числа взаимно просты в совокупности. Рассмотрим простое число p, которое делит abc. Сколько из чисел a, b, c на него могут делиться?
Подсказка 2
Поскольку мы уже предполагаем, что числа a, b, c взаимно просты в совокупности, то все 3 числа делиться на p не могут. А может ли делиться ровно одно?
Подсказка 3
Верно, не может! Если привести три дроби к общему знаменателю, то видно, что c²b должно делиться на a, а если только a делится на p, то это невозможно. Тогда p содержится в двух числах. Пусть в число a оно входит в степени m, а в число b в степени n. В каких степенях оно входит в слагаемые числителя исходного выражения после приведения к общему знаменателю?
Подсказка 4
Верно! В a²c в степени 2m, в c²b в степени n, а в b²a в степени 2n + m. Можно ли теперь как-то сравнить m и n?
Подсказка 5
Верно, 2m ≥ n из соображений делимости! А может ли 2m быть больше n?
Подсказка 6
Не может! Если 2m ≥ n + 1, тогда знаменатель делится на (n+1)-ю степень p, а тогда и c²b на нее делится. В какой степени тогда p входит в abc?
Приведём дроби к одному знаменателю: 
Будем считать, что переменные взаимно просты, иначе можно просто сократить на
НОД. Пусть некоторое простое число 
входит в 
в некоторой натуральной степени. Все переменные на 
делиться не могут. Пусть на
делится только одна переменная, например 
Чтобы дробь была целой, необходимо, чтобы 
делилось на 
но этого не может
быть, поскольку 
не делится на 
а 
— делится.
Значит, число 
распределено по двум переменным. Пусть оно входит в 
в степени 
а в 
— в степени 
Тогда в 
оно
входит в степени 
в 
— в степени 
в 
— в степени 
Ясно, что 
поскольку знаменатель, а также второе и третье слагаемые числителя делятся на 
а значит и 
делится на
Значит степень вхождения 
в 
не меньше 
Предположим, что 
Заметим, что знаменатель делится на 
так
как он делится на 
а 
Также на 
делятся первое и второе слагаемые числителя. Значит, на 
делится и
однако 
входит в это число лишь в степени 
Значит, 
то есть 
входит в 
в степени 
В силу произвольности
выбора 
получаем требуемое.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
