Степени вхождения простых

Для удобства обозначим первый НОК через а второй, через Тогда равенство можно записать в виде Рассмотрим произвольное простое число Пусть оно входит в в степени а в — в степени Тогда в оно входит в степени в — в степени Значит, в оно входит в степени

Теперь оценим степень вхождения в левую часть равенства:

Степени вхождения в левой и правой части равны, поэтому

Запишем как

и приведём подобные. Получим, что

Заметим, что строгий знак в полученном неравенстве возможен лишь когда Также отметим, что последнее равенство возможно лишь когда Действительно, если то иначе равенство будет верным лишь при Аналогично рассматривается другой случай. Предположим, что . Если равенство верно для любого простого , то . Тогда уравнение примет вид: а значит

Пусть существует такое для которого тогда Уравнение симметрично, поэтому пусть тогда равенство примет вид Правую часть можно оценить сверху: то есть откуда Простое число может входить в в степени если оно равно в степени если оно равно в степени в иных случаях. Однако поэтому Значит, Получается, что если такое существует, то оно равно и входит в одно число в первой степени, а в другое — в нулевой. То есть либо где не кратно либо наоборот. Подставим в равенство и получим откуда Учитывая симметрию, запишем ответ.