Степени вхождения простых
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На доске написаны последовательных целых чисел. За ход можно разбить написанные числа на пары произвольным
образом и каждую пару чисел заменить на их сумму и разность (не обязательно вычитать из большего числа меньшее, все
замены происходят одновременно). Докажите, что на доске больше никогда не появятся
последовательных целых
чисел.
Рассмотрим набор из подряд идущих чисел, квадраты этих чисел имеют тот же набор остатков при делении на
что и набор чисел
Поскольку
сумма квадратов подряд идущих чисел делится на
но не делится на
Представим число в виде
где
нечётно. Тогда сумма
последовательных квадратов разбивается на
сумм вида
где все
нечётны, поэтому вся сумма также делится на
но не делится на
Следовательно, наибольшая
степень двойки, на которую делится сумма квадратов
последовательных чисел, зависит только от
но не от самих
чисел.
В то же время сумма квадратов имеющихся чисел после замены удваивается. Действительно, заменив числа и
на
и
получим:
Таким образом, снова получить набор из подряд идущих чисел нельзя.
Специальные программы

Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!