Оценочная теория чисел
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Натуральные числа 
таковы, что дробь 
есть целое число. Докажите, что 
Источники:
Подсказка 1
Доказать требуемое можно через довольно естественную идею. Давайте поделим m на n с остатком: m = qn + r и покажем, что q ≥ n.
Подсказка 2:
В контексте решения будет выгодно использовать сравнения по модулю 3ⁿ + 2. С их помощью можно упростить числитель.
Подсказка 3:
Если вы правильно применили сравнения, у вас должно возникнуть два случая — при чётном и нечётном q. В обоих случаях стоит представить условие с делимостью как равенство: числитель равен знаменателю, умноженному на некоторое целое. Далее попробуйте сделать какие-то грубые оценки. Например, если покажете, что 2ⁿ > 3^q, то очевидно n > q.
Разделим 
на 
с остатком: пусть 
где 
и 
(так как 
Заметим, что 
Тогда
имеем
Рассмотрим два случая: 
четно и 
нечетно.
Первый случай. Пусть 
четно. Тогда 
Для некоторого натурального 
Тогда имеем 
так как
Следовательно, 
для некоторого натурального 
Значит, 
(подставили 
в равенство), то
есть 
откуда следует, что 
Но тогда 
что и требовалось.
Второй случай. Пусть 
нечетно. Тогда 
поскольку
Так как 
получаем 
Следовательно, 
для некоторого натурального 
Значит,
то есть 
Если при этом 
то для того, чтобы выполнялось равенство, приведенное выше, необходимо,
чтобы выполнялось неравенство 
так как в этом случае 
Тогда 
Если же
(
как следствие одного из приведенных выше равенств). Тогда и 
Действительно, в противном случае
и 
и 
Но тогда 
— противоречие. Итак, 
и 
тогда
Итак, 
Но тогда аналогичным образом, как в первом случае, можно получить, что 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
