Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела теория чисел
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#124268

Пусть a ,
 1  a ,...,a
 2    10  — натуральные числа, a < a < ...< a .
 1   2       10  Пусть b
 k  — наибольший делитель a ,
 k  меньший a .
 k  Оказалось, что b1 > b2 > ...> b10.  Докажите, что a10 > 500.

Показать доказательство

Неравенства из условия влекут

a1  a2      a10
b1 < b2 < ...< b10,

причем для каждого k ∈{1,2,...,10} отношение ak
bk  — суть наименьший простой делитель ak  . Тогда a10
b10  не меньше, чем 29 — десятое простое число, а значит

a10 ≥29⋅b10                                          (∗)

Число b10  же является делителем a10,  большим 1, а значит не меньше, чем наименьший простой делитель — a10
b10,  то есть так не меньше, чем 29. Подставляя полученную оценку в неравенство (∗)  имеем

a10 ≥29⋅b10 ≥292 > 500.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!